Влажность — Задание 23 ЕГЭ по физике №00026451

О чём эта задача. «Влажный воздух» — это смесь двух газов: сухого воздуха и водяного пара. Их общая масса известна ($18$ г), известны объём, температура и общее давление. Массы по отдельности не известны — их и надо разделить. Хитрость в том, что у воды и у воздуха разные молярные массы: одна и та же масса пара даёт больше молекул, чем такая же масса воздуха, а давление создают именно молекулы.

На каких законах всё держится. Смесь разреженных газов подчиняется закону Дальтона: каждый газ создаёт своё давление независимо, а общее давление — сумма парциальных. Отсюда следует удобное: полное количество вещества смеси $\nu$ можно найти из уравнения Клапейрона — Менделеева по общему давлению, $\nu=\dfrac{pV}{RT}$, а с другой стороны, оно складывается из молей пара и молей воздуха. Плюс очевидное: массы складываются. Получаются два уравнения с двумя неизвестными.

Шаг 1 — общее количество вещества. Переводим: $V=10$ л $=10^{-2}$ м³, $T=80+273=353$ К, $p=2\cdot10^{5}$ Па. $$\nu=\frac{pV}{RT}=\frac{2\cdot10^{5}\cdot 10^{-2}}{8{,}31\cdot 353}=\frac{2000}{2933}\approx 0{,}682\ \text{моль}.$$

Шаг 2 — система уравнений. Обозначим $m_{\text{п}}$ — масса пара, $m_{\text{в}}$ — масса сухого воздуха. Молярные массы: у воды $M_{\text{п}}=0{,}018$ кг/моль, у воздуха $M_{\text{в}}=0{,}029$ кг/моль. Тогда $$m_{\text{п}}+m_{\text{в}}=m=0{,}018\ \text{кг},\qquad \frac{m_{\text{п}}}{M_{\text{п}}}+\frac{m_{\text{в}}}{M_{\text{в}}}=\nu.$$

Шаг 3 — решаем систему. Выражаем $m_{\text{в}}=m-m_{\text{п}}$ и подставляем во второе уравнение: $$\frac{m_{\text{п}}}{M_{\text{п}}}+\frac{m-m_{\text{п}}}{M_{\text{в}}}=\nu\quad\Rightarrow\quad m_{\text{п}}\left(\frac{1}{M_{\text{п}}}-\frac{1}{M_{\text{в}}}\right)=\nu-\frac{m}{M_{\text{в}}}.$$

Шаг 4 — числа. Считаем по кусочкам: $\dfrac{1}{0{,}018}=55{,}6$, $\dfrac{1}{0{,}029}=34{,}5$, их разность $21{,}1$ моль/кг. Дальше $\dfrac{m}{M_{\text{в}}}=\dfrac{0{,}018}{0{,}029}=0{,}621$ моль, и правая часть $0{,}682-0{,}621=0{,}061$ моль. Итого $$m_{\text{п}}=\frac{0{,}061}{21{,}1}\approx 2{,}9\cdot10^{-3}\ \text{кг}=2{,}9\ \text{г}.$$

Проверим себя. Пара $2{,}9$ г — это $\dfrac{2{,}9}{18}\approx 0{,}16$ моль; воздуха тогда $15{,}1$ г, то есть $\dfrac{15{,}1}{29}\approx 0{,}52$ моль. Сумма даёт $0{,}68$ моль — ровно то, что мы нашли в шаге 1. Полезно посмотреть и на парциальное давление пара: $p_{\text{п}}=\dfrac{0{,}16\cdot 8{,}31\cdot 353}{10^{-2}}\approx 4{,}7\cdot10^{4}$ Па. Это как раз давление насыщенного пара при $80\ ^\circ$С, то есть воздух в сосуде предельно влажный — результат физически осмысленный.