Задание 23 ЕГЭ по физике: В закрытом сосуде объёмом V = 10 л находится влажный воздух…

О чём эта задача. «Влажный воздух» — это смесь двух газов: сухого воздуха и водяного пара. Их общая масса известна (18 г), известны объём, температура и общее давление. Массы по отдельности не известны — их и надо разделить. Хитрость в том, что у воды и у воздуха разные молярные массы: одна и та же масса пара даёт больше молекул, чем такая же масса воздуха, а давление создают именно молекулы.

На каких законах всё держится. Смесь разреженных газов подчиняется закону Дальтона: каждый газ создаёт своё давление независимо, а общее давление — сумма парциальных. Отсюда следует удобное: полное количество вещества смеси \nu можно найти из уравнения Клапейрона — Менделеева по общему давлению, \nu=\dfrac{pV}{RT}, а с другой стороны, оно складывается из молей пара и молей воздуха. Плюс очевидное: массы складываются. Получаются два уравнения с двумя неизвестными.

Шаг 1 — общее количество вещества. Переводим: V=10 л =10^{-2} м³, T=80+273=353 К, p=2\cdot10^{5} Па. \nu=\frac{pV}{RT}=\frac{2\cdot10^{5}\cdot 10^{-2}}{8{,}31\cdot 353}=\frac{2000}{2933}\approx 0{,}682\ \text{моль}.

Шаг 2 — система уравнений. Обозначим m_{\text{п}} — масса пара, m_{\text{в}} — масса сухого воздуха. Молярные массы: у воды M_{\text{п}}=0{,}018 кг/моль, у воздуха M_{\text{в}}=0{,}029 кг/моль. Тогда m_{\text{п}}+m_{\text{в}}=m=0{,}018\ \text{кг},\qquad \frac{m_{\text{п}}}{M_{\text{п}}}+\frac{m_{\text{в}}}{M_{\text{в}}}=\nu.

Шаг 3 — решаем систему. Выражаем m_{\text{в}}=m-m_{\text{п}} и подставляем во второе уравнение: \frac{m_{\text{п}}}{M_{\text{п}}}+\frac{m-m_{\text{п}}}{M_{\text{в}}}=\nu\quad\Rightarrow\quad m_{\text{п}}\left(\frac{1}{M_{\text{п}}}-\frac{1}{M_{\text{в}}}\right)=\nu-\frac{m}{M_{\text{в}}}.

Шаг 4 — числа. Считаем по кусочкам: \dfrac{1}{0{,}018}=55{,}6, \dfrac{1}{0{,}029}=34{,}5, их разность 21{,}1 моль/кг. Дальше \dfrac{m}{M_{\text{в}}}=\dfrac{0{,}018}{0{,}029}=0{,}621 моль, и правая часть 0{,}682-0{,}621=0{,}061 моль. Итого m_{\text{п}}=\frac{0{,}061}{21{,}1}\approx 2{,}9\cdot10^{-3}\ \text{кг}=2{,}9\ \text{г}.

Проверим себя. Пара 2{,}9 г — это \dfrac{2{,}9}{18}\approx 0{,}16 моль; воздуха тогда 15{,}1 г, то есть \dfrac{15{,}1}{29}\approx 0{,}52 моль. Сумма даёт 0{,}68 моль — ровно то, что мы нашли в шаге 1. Полезно посмотреть и на парциальное давление пара: p_{\text{п}}=\dfrac{0{,}16\cdot 8{,}31\cdot 353}{10^{-2}}\approx 4{,}7\cdot10^{4} Па. Это как раз давление насыщенного пара при 80\ ^\circС, то есть воздух в сосуде предельно влажный — результат физически осмысленный.