ID: 00026512
Чему была равна относительная влажность воздуха в комнате размерами 5 м × 7 м × 3 м, если после 2 ч работы увлажнителя воздуха с производительностью водяного пара 0,2 кг/ч она стала равна 70 %? Температура воздуха в комнате постоянна и равна 15 °C. Давление насыщенного водяного пара при температуре 15 °C равно 1,71 кПа. Комнату считать герметичным сосудом.
Источник: ФИПИ
Задача читается «задом наперёд»: известно, чем всё кончилось, и надо восстановить, с чего начиналось. Увлажнитель за два часа добавил в комнату вполне определённое количество воды — если перевести эти килограммы в прибавку давления пара, останется вычесть её из конечного значения.
Шаг 1 — сколько воды добавили. Производительность $0{,}2$ кг/ч, время работы $2$ ч:
$$\Delta m = 0{,}2\cdot 2 = 0{,}4\ \text{кг}.$$
Шаг 2 — объём комнаты:
$$V = 5\cdot 7\cdot 3 = 105\ \text{м}^3.$$
Шаг 3 — на сколько выросло давление пара. Комната герметична, объём и температура постоянны, водяной пар считаем идеальным газом. Запишем уравнение Менделеева–Клапейрона для добавленной порции:
$$\Delta p\, V = \frac{\Delta m}{\mu} R T \quad\Rightarrow\quad \Delta p = \frac{\Delta m\, R\, T}{\mu\, V}.$$
Здесь $\mu = 0{,}018$ кг/моль — молярная масса воды, $R = 8{,}31$ Дж/(моль$\cdot$К), $T = 273 + 15 = 288$ К. Считаем:
$$\Delta p = \frac{0{,}4\cdot 8{,}31\cdot 288}{0{,}018\cdot 105} = \frac{957{,}3}{1{,}89} \approx 506\ \text{Па}.$$
Шаг 4 — конечное давление пара. Относительная влажность — это отношение парциального давления пара к давлению насыщенного пара:
$$p_2 = \varphi_2 p_{\text{н}} = 0{,}70\cdot 1710 = 1197\ \text{Па}.$$
Шаг 5 — идём назад и находим начальное состояние:
$$p_1 = p_2 - \Delta p = 1197 - 506 = 691\ \text{Па},$$
$$\varphi_1 = \frac{p_1}{p_{\text{н}}} = \frac{691}{1710} \approx 0{,}40 = 40\,\%.$$
Проверим на здравый смысл: было около сорока процентов, добавили четыре сотых грамма воды на каждый кубометр — и влажность подросла до семидесяти. Прибавка давления $506$ Па составляет примерно $30\,\%$ от $1710$ Па, а $40 + 30 = 70$ — ровно то, что дано в условии. Сходится.
Почему такая модель применима. Комнату велено считать герметичным сосудом, поэтому весь выпущенный пар остаётся внутри, объём фиксирован, а температура постоянна по условию — только при этом можно приписывать прибавке массы прибавку давления по уравнению Менделеева–Клапейрона. Пар при давлении около килопаскаля сильно разрежен и хорошо описывается моделью идеального газа. Конечная влажность $70\,\%$ меньше ста, значит пар остался ненасыщенным и конденсации не было — вся добавленная вода действительно «висит» в воздухе и участвует в создании давления. По закону Дальтона пар создаёт своё парциальное давление независимо от воздуха, поэтому его можно рассматривать отдельно от остальной смеси.