Задание 23 ЕГЭ по физике: В запаянной трубке объёмом V = 0,5 л находится водяной пар при…

№2. Задание 23

ID: 00026447

В запаянной трубке объёмом V = 0,5 л находится водяной пар при температуре $t_{1}=150^{\circ}\text{C}$ и давлении $p_{1}=8$ кПа. Какая масса воды $\mathrm{\Delta}m$ сконденсируется в трубке при охлаждении пара до температуры $t_{2}=20^{\circ}\text{C}$ ? Давление насыщенного пара $p_{\text{н2}}$ при температуре $t_{2}$ равно 2,5 кПа. Объёмом жидкости, образовавшейся при конденсации пара, пренебречь.

Источник: ФИПИ

Решение

Что здесь происходит. В запаянной трубке заперт водяной пар — газ, и больше ничего. Пар охлаждают. Пока он остаётся ненасыщенным, он ведёт себя как обычный идеальный газ. Но у пара есть предел: при каждой температуре существует максимальное возможное давление — давление насыщенного пара. Если охладить сильно, пар «упирается» в этот предел, и излишек воды выпадает в жидкость — конденсируется. Значит, надо сравнить массу пара до охлаждения и после, а разница и есть масса сконденсировавшейся воды.

Почему конденсация вообще началась. Прикинем: если бы вся вода осталась паром, то при постоянном объёме давление менялось бы по закону Шарля: $p=p_{1}\dfrac{T_{2}}{T_{1}}=8\cdot\dfrac{293}{423}\approx 5{,}5$ кПа. Но при $20\ ^\circ$ С пар не может иметь давление выше $2{,}5$ кПа — это давление насыщенного пара, дано в условии. Противоречие снимается только одним способом: часть пара превратилась в воду, а оставшийся пар стал насыщенным с давлением ровно $p_{\text{н2}}=2{,}5$ кПа.

Считать массы будем по уравнению Клапейрона — Менделеева $pV=\dfrac{m}{M}RT$ , откуда $m=\dfrac{pVM}{RT}$ . Здесь $M=0{,}018$ кг/моль — молярная масса воды, $R=8{,}31$ Дж/(моль $\cdot$ К). Объём в обоих состояниях один и тот же: трубка запаяна, а объёмом образовавшейся жидкости условие разрешает пренебречь.

Шаг 1 — масса пара до охлаждения. Переводим: $V=0{,}5$ л $=5\cdot10^{-4}$ м³, $p_{1}=8$ кПа $=8\cdot10^{3}$ Па, $T_{1}=150+273=423$ К. $m_{1}=\frac{8\cdot10^{3}\cdot 5\cdot10^{-4}\cdot 0{,}018}{8{,}31\cdot 423}=\frac{4\cdot 0{,}018}{3515}=\frac{0{,}072}{3515}\approx 2{,}05\cdot10^{-5}\ \text{кг}.$

Шаг 2 — масса пара после охлаждения. Теперь $p_{\text{н2}}=2{,}5\cdot10^{3}$ Па, $T_{2}=20+273=293$ К: $m_{2}=\frac{2{,}5\cdot10^{3}\cdot 5\cdot10^{-4}\cdot 0{,}018}{8{,}31\cdot 293}=\frac{1{,}25\cdot 0{,}018}{2435}=\frac{0{,}0225}{2435}\approx 9{,}2\cdot10^{-6}\ \text{кг}.$

Шаг 3 — масса сконденсировавшейся воды: $\Delta m=m_{1}-m_{2}\approx 2{,}05\cdot10^{-5}-0{,}92\cdot10^{-5}=1{,}13\cdot10^{-5}\ \text{кг}\approx 11\ \text{мг}.$

Проверка себя: сконденсировалось чуть больше половины пара, и это разумно — давление упало в $3{,}2$ раза, а температура всего в $1{,}44$ раза, поэтому масса пара уменьшилась примерно в $3{,}2/1{,}44\approx 2{,}2$ раза. Одиннадцать миллиграммов воды — это капелька меньше булавочной головки, поэтому пренебрежение её объёмом по сравнению с полулитром трубки полностью оправдано.

Ответ

$\Delta m=\dfrac{MV}{R}\left(\dfrac{p_{1}}{T_{1}}-\dfrac{p_{\text{н2}}}{T_{2}}\right)\approx 1{,}1\cdot10^{-5}\ \text{кг}$ , то есть около $11$ мг.