Влажность — Задание 23 ЕГЭ по физике №00026508

Увлажнитель — это просто «насос воды в воздух»: он каждый час добавляет в комнату $0{,}36$ кг пара. Значит, если мы узнаем, сколько килограммов пара нужно добавить, чтобы влажность подскочила с $35\,\%$ до $70\,\%$, время найдётся простым делением.

Шаг 1 — объём комнаты. Комната — прямоугольный ящик:

$$V = 6\cdot 5\cdot 3 = 90\ \text{м}^3.$$

Шаг 2 — на сколько должно вырасти давление пара. Относительная влажность — это отношение парциального давления пара к давлению насыщенного пара при той же температуре: $\varphi = p/p_{\text{н}}$. Поэтому

$$p_1 = \varphi_1 p_{\text{н}} = 0{,}35\cdot 2330 = 815{,}5\ \text{Па},\qquad p_2 = \varphi_2 p_{\text{н}} = 0{,}70\cdot 2330 = 1631\ \text{Па}.$$

Прирост давления:

$$\Delta p = p_2 - p_1 = 1631 - 815{,}5 = 815{,}5\ \text{Па}.$$

Интересная деталь: прирост в точности равен начальному давлению, ведь влажность выросла ровно вдвое.

Шаг 3 — сколько это в килограммах воды. Пар считаем идеальным газом, объём комнаты и температура постоянны, поэтому массу связывает с давлением уравнение Менделеева–Клапейрона:

$$\Delta m = \frac{\Delta p\, V \mu}{R T},$$

где $\mu = 0{,}018$ кг/моль — молярная масса воды, $R = 8{,}31$ Дж/(моль$\cdot$К), $T = 273 + 20 = 293$ К. Считаем:

$$\Delta m = \frac{815{,}5\cdot 90\cdot 0{,}018}{8{,}31\cdot 293} = \frac{1321}{2435} \approx 0{,}54\ \text{кг}.$$

Шаг 4 — время работы. Увлажнитель выдаёт $\mu_{\text{пр}} = 0{,}36$ кг пара в час, значит

$$t = \frac{\Delta m}{\mu_{\text{пр}}} = \frac{0{,}54}{0{,}36} \approx 1{,}5\ \text{ч}.$$

Полтора часа, то есть $90$ минут. Проверим на здравый смысл: чуть больше полулитра воды, распылённого по комнате объёмом $90$ м³, удваивает влажность — правдоподобно, ведь и в исходном состоянии в воздухе висело примерно столько же.

Почему такая модель применима. Комнату велено считать герметичным сосудом — значит объём и температура постоянны, а весь выпущенный увлажнителем пар остаётся внутри и никуда не утекает. Пар при таких давлениях (полторы тысячи паскалей против атмосферных ста тысяч) далёк от конденсации и прекрасно описывается моделью идеального газа, поэтому применимо уравнение Менделеева–Клапейрона. Конечная влажность $70\,\%$ меньше $100\,\%$, то есть пар так и остаётся ненасыщенным и роса не выпадает — иначе часть добавленной воды осела бы на стенах и расчёт пришлось бы менять. Наконец, по закону Дальтона пар в смеси с воздухом создаёт своё давление независимо от воздуха, поэтому его можно считать отдельно.