ID: 00026508
В комнате размерами 6 м \times 5 м \times 3 м, в которой воздух имеет температуру 20\,^\circС и относительную влажность 35\,\%, включили увлажнитель воздуха производительностью 0{,}36 кг/ч. Сколько времени необходимо работать увлажнителю, чтобы относительная влажность воздуха в комнате стала равна 70\,\%? Давление насыщенного водяного пара при температуре 20\,^\circС равно 2{,}33 кПа. Комнату считать герметичным сосудом.
Источник: ФИПИ
Увлажнитель — это просто «насос воды в воздух»: он каждый час добавляет в комнату 0{,}36 кг пара. Значит, если мы узнаем, сколько килограммов пара нужно добавить, чтобы влажность подскочила с 35\,\% до 70\,\%, время найдётся простым делением.
Шаг 1 — объём комнаты. Комната — прямоугольный ящик:
V = 6\cdot 5\cdot 3 = 90\ \text{м}^3.
Шаг 2 — на сколько должно вырасти давление пара. Относительная влажность — это отношение парциального давления пара к давлению насыщенного пара при той же температуре: \varphi = p/p_{\text{н}}. Поэтому
p_1 = \varphi_1 p_{\text{н}} = 0{,}35\cdot 2330 = 815{,}5\ \text{Па},\qquad p_2 = \varphi_2 p_{\text{н}} = 0{,}70\cdot 2330 = 1631\ \text{Па}.
Прирост давления:
\Delta p = p_2 - p_1 = 1631 - 815{,}5 = 815{,}5\ \text{Па}.
Интересная деталь: прирост в точности равен начальному давлению, ведь влажность выросла ровно вдвое.
Шаг 3 — сколько это в килограммах воды. Пар считаем идеальным газом, объём комнаты и температура постоянны, поэтому массу связывает с давлением уравнение Менделеева–Клапейрона:
\Delta m = \frac{\Delta p\, V \mu}{R T},
где \mu = 0{,}018 кг/моль — молярная масса воды, R = 8{,}31 Дж/(моль\cdotК), T = 273 + 20 = 293 К. Считаем:
\Delta m = \frac{815{,}5\cdot 90\cdot 0{,}018}{8{,}31\cdot 293} = \frac{1321}{2435} \approx 0{,}54\ \text{кг}.
Шаг 4 — время работы. Увлажнитель выдаёт \mu_{\text{пр}} = 0{,}36 кг пара в час, значит
t = \frac{\Delta m}{\mu_{\text{пр}}} = \frac{0{,}54}{0{,}36} \approx 1{,}5\ \text{ч}.
Полтора часа, то есть 90 минут. Проверим на здравый смысл: чуть больше полулитра воды, распылённого по комнате объёмом 90 м³, удваивает влажность — правдоподобно, ведь и в исходном состоянии в воздухе висело примерно столько же.
Почему такая модель применима. Комнату велено считать герметичным сосудом — значит объём и температура постоянны, а весь выпущенный увлажнителем пар остаётся внутри и никуда не утекает. Пар при таких давлениях (полторы тысячи паскалей против атмосферных ста тысяч) далёк от конденсации и прекрасно описывается моделью идеального газа, поэтому применимо уравнение Менделеева–Клапейрона. Конечная влажность 70\,\% меньше 100\,\%, то есть пар так и остаётся ненасыщенным и роса не выпадает — иначе часть добавленной воды осела бы на стенах и расчёт пришлось бы менять. Наконец, по закону Дальтона пар в смеси с воздухом создаёт своё давление независимо от воздуха, поэтому его можно считать отдельно.