ID: 00026637
Шарик падает с высоты Н = 2 м над поверхностью Земли из состояния покоя. На высоте h = 1 м он абсолютно упруго ударяется о доску, расположенную под углом к горизонту ( c м. рисунок). После этого удара шарик поднялся на максимальную высоту $h_{1}$ = 1,25 м от поверхности Земли. Какой угол α составляет доска с горизонтом? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Источник: ФИПИ
Сюжет. Шарик отпускают без начальной скорости с высоты $H=2$ м. Он падает вертикально и на высоте $h=1$ м абсолютно упруго ударяется о наклонную доску. После удара он отлетает под углом, взлетает по дуге и поднимается максимум на $h_1=1{,}25$ м над землёй. Надо найти, под каким углом $\alpha$ стоит доска.
Обоснование модели. Систему отсчёта берём связанной с Землёй — инерциальную. Шарик мал, вращением и его размерами пренебрегаем: это материальная точка. Сопротивления воздуха нет, поэтому и до удара, и после на шарик действует только сила тяжести — движение свободное, с постоянным ускорением $g$ вниз, и сохраняется механическая энергия. Удар абсолютно упругий, а доска массивная и неподвижная, поэтому модуль скорости шарика при отскоке не меняется, а меняется только направление — по правилу отражения: угол падения относительно нормали к доске равен углу отражения. Именно это позволяет связать наклон доски с направлением полёта после удара.
Шаг 1 — скорость перед ударом. Падение с высоты $H-h=1$ м из покоя: $$\upsilon=\sqrt{2g(H-h)}=\sqrt{2\cdot 10\cdot 1}=\sqrt{20}\ \text{м/с},\qquad \upsilon^2=20\ \text{м}^2/\text{с}^2.$$ Скорость направлена вертикально вниз.
Шаг 2 — куда полетит шарик после удара. Нормаль к доске наклонена к вертикали на тот же угол $\alpha$, что и доска к горизонту. Скорость до удара вертикальна, значит угол падения (между скоростью и нормалью) равен $\alpha$. При упругом отражении отражённая скорость лежит по другую сторону нормали под тем же углом $\alpha$. Итог: вектор скорости повернулся на $2\alpha$, и после удара он составляет угол $2\alpha$ с вертикалью (направлен вверх и вбок), а модуль остался прежним — $\upsilon$.
Шаг 3 — вертикальная составляющая. Подниматься шарику помогает только вертикальная часть скорости: $$\upsilon_y=\upsilon\cos 2\alpha.$$ Горизонтальная составляющая на высоту подъёма не влияет — она сохраняется до самой верхней точки.
Шаг 4 — высота подъёма. От места удара (высота $h=1$ м) шарик поднялся ещё на $h_1-h=1{,}25-1=0{,}25$ м: $$h_1-h=\frac{\upsilon_y^2}{2g}=\frac{\upsilon^2\cos^2 2\alpha}{2g}.$$
Шаг 5 — считаем угол. $$0{,}25=\frac{20\cos^2 2\alpha}{2\cdot 10}=\cos^2 2\alpha\ \Longrightarrow\ \cos 2\alpha=0{,}5\ \Longrightarrow\ 2\alpha=60^\circ\ \Longrightarrow\ \alpha=30^\circ.$$
Проверка на здравый смысл: если бы доска лежала горизонтально ($\alpha=0$), шарик отскочил бы строго вверх и вернулся на исходную высоту $H=2$ м. Наклон доски «уводит» часть скорости в горизонталь, и подъём выходит меньше — как раз то, что мы и видим.