ID: 00026633
Пластилиновый шарик в момент t = 0 бросают с горизонтальной поверхности Земли под углом α к горизонту. Одновременно с некоторой высоты над поверхностью Земли начинает падать из состояния покоя другой такой же шарик. Шарики абсолютно неупруго сталкиваются в воздухе. Сразу после столкновения скорость шариков направлена горизонтально. Время от столкновения шариков до их падения на Землю равно τ. С какой начальной скоростью $\upsilon _{0}$ был брошен первый шарик? Сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи .
Источник: ФИПИ
Что происходит. Один пластилиновый шарик бросают с земли под углом $\alpha$ со скоростью $\upsilon_0$. В тот же момент второй такой же шарик отпускают без начальной скорости с некоторой высоты. Они встречаются в воздухе и слипаются. Хитрая подсказка условия: сразу после слипания скорость комка горизонтальна. Дальше комок летит как тело, брошенное горизонтально, и через время $\tau$ падает на землю. Надо выразить $\upsilon_0$.
Обоснование модели. Систему отсчёта связываем с Землёй — инерциальная. Шарики маленькие, вращения и деформации нас не интересуют, поэтому оба — материальные точки. Сопротивления воздуха нет, поэтому до и после столкновения на каждый шарик действует только сила тяжести: движение равноускоренное с ускорением $g$, направленным вниз, а горизонтальная составляющая скорости в свободном полёте не меняется. Удар абсолютно неупругий и очень короткий: за время удара сила тяжести импульс системы изменить не успевает, поэтому систему двух шариков считаем замкнутой и применяем закон сохранения импульса; после удара шарики движутся как одно тело. Механическая энергия при неупругом ударе не сохраняется (часть уходит на деформацию пластилина), поэтому энергетический закон здесь применять нельзя.
Шаг 1 — обозначения и скорости перед ударом. Пусть масса каждого шарика $m$, столкновение произошло в момент $t_1$. Оси: $x$ — горизонтально в сторону броска, $y$ — вертикально вверх. Первый шарик: $\upsilon_{1x}=\upsilon_0\cos\alpha$, $\upsilon_{1y}=\upsilon_0\sin\alpha-gt_1$. Второй падал из покоя: $\upsilon_{2x}=0$, $\upsilon_{2y}=-gt_1$ (падают оба одинаковое время, ускорение у обоих одно).
Шаг 2 — закон сохранения импульса. После слипания у комка массой $2m$ скорость $\vec u$: $$2m\,u_x=m\upsilon_0\cos\alpha,\qquad 2m\,u_y=m(\upsilon_0\sin\alpha-gt_1)+m(-gt_1).$$ Отсюда $u_x=\dfrac{\upsilon_0\cos\alpha}{2}$, $u_y=\dfrac{\upsilon_0\sin\alpha-2gt_1}{2}$.
Шаг 3 — используем «скорость горизонтальна». Это означает $u_y=0$, то есть $$\upsilon_0\sin\alpha=2gt_1\ \Longrightarrow\ t_1=\frac{\upsilon_0\sin\alpha}{2g}.$$ Мы нашли момент столкновения.
Шаг 4 — на какой высоте это случилось. Высота точки встречи — это высота первого шарика в момент $t_1$: $$H=\upsilon_0\sin\alpha\cdot t_1-\frac{gt_1^2}{2}=\frac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{2g}-\frac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{8g}=\frac{3\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{8g}.$$
Шаг 5 — падение после удара. Скорость комка горизонтальна, значит по вертикали он стартует из состояния покоя и падает с высоты $H$ за время $\tau$: $$H=\frac{g\tau^2}{2}.$$
Шаг 6 — сшиваем. $$\frac{3\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{8g}=\frac{g\tau^2}{2}\ \Longrightarrow\ \upsilon_0^2=\frac{4g^2\tau^2}{3\sin^2\alpha}\ \Longrightarrow\ \upsilon_0=\frac{2g\tau}{\sqrt{3}\,\sin\alpha}.$$
Проверка на здравый смысл: чем дольше падает комок (больше $\tau$), тем выше была точка встречи, а значит тем сильнее бросали — и в формуле $\upsilon_0$ действительно растёт вместе с $\tau$. А при очень пологом броске ($\sin\alpha\to 0$) вертикальной скорости почти нет, и чтобы успеть подняться, начальная скорость должна быть огромной — формула это тоже показывает.