ID: 00026633
Пластилиновый шарик в момент t = 0 бросают с горизонтальной поверхности Земли под углом α к горизонту. Одновременно с некоторой высоты над поверхностью Земли начинает падать из состояния покоя другой такой же шарик. Шарики абсолютно неупруго сталкиваются в воздухе. Сразу после столкновения скорость шариков направлена горизонтально. Время от столкновения шариков до их падения на Землю равно τ. С какой начальной скоростью \upsilon _{0} был брошен первый шарик? Сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи .
Источник: ФИПИ
Что происходит. Один пластилиновый шарик бросают с земли под углом \alpha со скоростью \upsilon_0. В тот же момент второй такой же шарик отпускают без начальной скорости с некоторой высоты. Они встречаются в воздухе и слипаются. Хитрая подсказка условия: сразу после слипания скорость комка горизонтальна. Дальше комок летит как тело, брошенное горизонтально, и через время \tau падает на землю. Надо выразить \upsilon_0.
Обоснование модели. Систему отсчёта связываем с Землёй — инерциальная. Шарики маленькие, вращения и деформации нас не интересуют, поэтому оба — материальные точки. Сопротивления воздуха нет, поэтому до и после столкновения на каждый шарик действует только сила тяжести: движение равноускоренное с ускорением g, направленным вниз, а горизонтальная составляющая скорости в свободном полёте не меняется. Удар абсолютно неупругий и очень короткий: за время удара сила тяжести импульс системы изменить не успевает, поэтому систему двух шариков считаем замкнутой и применяем закон сохранения импульса; после удара шарики движутся как одно тело. Механическая энергия при неупругом ударе не сохраняется (часть уходит на деформацию пластилина), поэтому энергетический закон здесь применять нельзя.
Шаг 1 — обозначения и скорости перед ударом. Пусть масса каждого шарика m, столкновение произошло в момент t_1. Оси: x — горизонтально в сторону броска, y — вертикально вверх. Первый шарик: \upsilon_{1x}=\upsilon_0\cos\alpha, \upsilon_{1y}=\upsilon_0\sin\alpha-gt_1. Второй падал из покоя: \upsilon_{2x}=0, \upsilon_{2y}=-gt_1 (падают оба одинаковое время, ускорение у обоих одно).
Шаг 2 — закон сохранения импульса. После слипания у комка массой 2m скорость \vec u: 2m\,u_x=m\upsilon_0\cos\alpha,\qquad 2m\,u_y=m(\upsilon_0\sin\alpha-gt_1)+m(-gt_1). Отсюда u_x=\dfrac{\upsilon_0\cos\alpha}{2}, u_y=\dfrac{\upsilon_0\sin\alpha-2gt_1}{2}.
Шаг 3 — используем «скорость горизонтальна». Это означает u_y=0, то есть \upsilon_0\sin\alpha=2gt_1\ \Longrightarrow\ t_1=\frac{\upsilon_0\sin\alpha}{2g}. Мы нашли момент столкновения.
Шаг 4 — на какой высоте это случилось. Высота точки встречи — это высота первого шарика в момент t_1: H=\upsilon_0\sin\alpha\cdot t_1-\frac{gt_1^2}{2}=\frac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{2g}-\frac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{8g}=\frac{3\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{8g}.
Шаг 5 — падение после удара. Скорость комка горизонтальна, значит по вертикали он стартует из состояния покоя и падает с высоты H за время \tau: H=\frac{g\tau^2}{2}.
Шаг 6 — сшиваем. \frac{3\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{8g}=\frac{g\tau^2}{2}\ \Longrightarrow\ \upsilon_0^2=\frac{4g^2\tau^2}{3\sin^2\alpha}\ \Longrightarrow\ \upsilon_0=\frac{2g\tau}{\sqrt{3}\,\sin\alpha}.
Проверка на здравый смысл: чем дольше падает комок (больше \tau), тем выше была точка встречи, а значит тем сильнее бросали — и в формуле \upsilon_0 действительно растёт вместе с \tau. А при очень пологом броске (\sin\alpha\to 0) вертикальной скорости почти нет, и чтобы успеть подняться, начальная скорость должна быть огромной — формула это тоже показывает.