ID: 00026632
Шар массой 1 кг, подвешенный на нити длиной 90 см, отводят от положения равновесия на угол 60° и отпускают. В момент прохождения шара через положение равновесия в него попадает пуля, летящая навстречу шару, которая пробивает его и продолжает двигаться горизонтально (см. рисунок). Определите модуль изменения импульса пули в результате попадания в шар, если он, продолжая движение в прежнем направлении, отклоняется на угол 39°. (Массу шара считать неизменной; диаметр шара – пренебрежимо малым по сравнению с длиной нити; $\cos 39^{\circ}=\dfrac{7}{9} .$ ) Сопротивлением воздуха пренебречь.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Источник: ФИПИ
Распутаем сюжет. Шар массой $M=1$ кг висит на нити длиной $l=0{,}9$ м. Его отвели на угол $60^\circ$ и отпустили — он разгоняется и в нижней точке летит быстрее всего. Ровно там в него врезается пуля, летящая навстречу, прошивает шар насквозь и летит дальше. Шар после этого продолжает двигаться в ту же сторону, что и раньше, но медленнее — он поднимается лишь на угол $39^\circ$. Нужно найти, насколько изменился импульс пули.
Обоснование модели. Систему отсчёта берём связанной с Землёй — инерциальную. Диаметр шара мал по сравнению с длиной нити, поэтому шар считаем материальной точкой на невесомой нерастяжимой нити, а его высоту подъёма считаем по геометрии окружности радиуса $l$. Сопротивления воздуха нет и нить нерастяжима (сила натяжения перпендикулярна скорости и работы не совершает), поэтому на участках «до удара» и «после удара» сохраняется механическая энергия шара. Само пробивание — процесс очень короткий: за это время сила тяжести и натяжение нити не успевают изменить импульс заметно, а сила взаимодействия пули с шаром велика. Поэтому в момент удара систему «пуля + шар» считаем замкнутой в горизонтальном направлении и применяем закон сохранения импульса. Масса шара по условию не меняется, движение всё время происходит вдоль одной горизонтальной прямой, так что можно работать с проекциями на эту прямую.
Шаг 1 — скорость шара перед ударом. При отклонении на угол $\alpha$ шар поднимается на высоту $h=l(1-\cos\alpha)$. Закон сохранения энергии на спуске: $Mgl(1-\cos 60^\circ)=\dfrac{Mv_1^2}{2}$, откуда $$v_1=\sqrt{2gl(1-\cos 60^\circ)}=\sqrt{2\cdot 10\cdot 0{,}9\cdot 0{,}5}=\sqrt{9}=3\ \text{м/с}.$$
Шаг 2 — скорость шара сразу после удара. Теперь наоборот: с какой скоростью $v_2$ надо стартовать из нижней точки, чтобы подняться на угол $39^\circ$? $$v_2=\sqrt{2gl(1-\cos 39^\circ)}=\sqrt{2\cdot 10\cdot 0{,}9\cdot\left(1-\tfrac{7}{9}\right)}=\sqrt{18\cdot\tfrac{2}{9}}=\sqrt{4}=2\ \text{м/с}.$$
Шаг 3 — изменение импульса шара. Направление движения шара не поменялось, поменялся только модуль скорости: с $3$ м/с до $2$ м/с. Значит проекция изменения импульса шара на направление его движения равна $$\Delta p_{\text{шара}}=Mv_2-Mv_1=1\cdot(2-3)=-1\ \text{кг}\cdot\text{м/с},$$ то есть по модулю $1\ \text{кг}\cdot\text{м/с}$, и направлено это изменение против движения шара.
Шаг 4 — переходим к пуле. Закон сохранения импульса для системы «пуля + шар» за время удара: суммарный импульс не изменился, значит $\Delta\vec p_{\text{пули}}+\Delta\vec p_{\text{шара}}=0$, то есть $\Delta\vec p_{\text{пули}}=-\Delta\vec p_{\text{шара}}$. Модули равны: $$\left|\Delta p_{\text{пули}}\right|=\left|\Delta p_{\text{шара}}\right|=1\ \text{кг}\cdot\text{м/с}.$$
И всё сходится: шар потерял $1\ \text{кг}\cdot\text{м/с}$ импульса, ровно столько же приобрела пуля (её импульс, направленный навстречу, стал по модулю меньше именно на эту величину). Обратите внимание: ни масса пули, ни её скорость для ответа не понадобились — импульс «перетёк» от одного тела к другому, а сколько его унесла пуля, видно уже по шару.