ID: 00022475
Снаряд, выпущенный из пушки с начальной скоростью $v_0=200$ м/с под углом $\alpha=60^\circ$ к горизонту, разрывается в верхней точке своей траектории на два осколка. Масса первого осколка $m_1=1{,}5$ кг. Его скорость $v_1$ сразу после взрыва направлена горизонтально в сторону первоначального полёта снаряда и равна $200$ м/с. На каком расстоянии $s_2$ от точки на земле под местом взрыва упал на землю второй осколок, если его масса $m_2=1$ кг? Траектории снаряда и осколков лежат в одной вертикальной плоскости. Сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Источник: Основная волна ЕГЭ 2026 (Дальний Восток)
Разберёмся, что происходит. Снаряд летит по дуге, в самой верхней точке его скорость направлена строго горизонтально (вертикальная составляющая там равна нулю). В этот момент он взрывается, и дальше два осколка просто падают под действием тяжести. Значит план такой: сначала законом сохранения импульса найдём скорость второго осколка, потом кинематикой падения — куда он улетит.
Обоснование. Считаем в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй. Снаряд и осколки — материальные точки, их размеры малы по сравнению с расстояниями полёта.
Взрыв длится очень короткое время, поэтому за него сила тяжести почти не успевает изменить импульс системы — значит в момент взрыва применим закон сохранения импульса. После взрыва на осколки действует только тяжесть, ведь сопротивление воздуха по условию не учитываем.
В верхней точке скорость снаряда горизонтальна и равна $v=v_0\cos\alpha=200\cdot\cos60^\circ=200\cdot0{,}5=100\ \text{м/с}$.
Масса снаряда до взрыва: $M=m_1+m_2=1{,}5+1=2{,}5$ кг.
Направим ось вдоль первоначального полёта. Закон сохранения импульса по горизонтали: $Mv=m_1v_1-m_2v_2$ (минус — потому что второй осколок летит назад). Отсюда $v_2=\dfrac{m_1v_1-Mv}{m_2}=\dfrac{1{,}5\cdot200-2{,}5\cdot100}{1}=\dfrac{300-250}{1}=50\ \text{м/с}$.
Теперь по вертикали. В верхней точке вертикальный импульс снаряда был равен нулю; первый осколок улетел строго горизонтально, значит и его вертикальная скорость ноль. Поэтому и второй осколок начинает движение без вертикальной скорости — просто падает с высоты верхней точки.
Высота верхней точки: $h=\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}=\dfrac{200^2\cdot(\sin60^\circ)^2}{2\cdot10}=\dfrac{40000\cdot0{,}75}{20}=1500\ \text{м}$.
Время падения с этой высоты без начальной вертикальной скорости: $t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot1500}{10}}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}\ \text{с}$.
Наконец, второй осколок летит горизонтально со скоростью $v_2$ всё время падения, поэтому улетит на $s_2=v_2t=50\cdot10\sqrt{3}=500\sqrt{3}\approx866\ \text{м}$.