Задание 26 ЕГЭ по физике: Маленькие шарики, имеющие массы M и m равно 60 г, соединены друг…

Сначала распутаем сюжет. Гантель — это два маленьких шарика на невесомом стержне. Её положили в неподвижную сферическую ямку радиусом R: тяжёлый шарик M лежит в самой нижней точке, а лёгкий шарик m упирается в стенку на высоте R над дном. Раз высота подъёма равна радиусу, шарик m стоит ровно на уровне центра O выемки — это видно и на рисунке. Гантель так и норовит соскользнуть: лёгкий шарик давит на стенку, стенка отталкивает его к центру, и вся конструкция стремится поехать по дну. Удержать её может только сила трения под шариком M, а она тем больше, чем тяжелее M. Отсюда и вопрос: какой минимальной массы должен быть нижний шарик.

Обоснуем модель. Выемка неподвижна, поэтому систему отсчёта связываем с ней (с Землёй) — она инерциальная, в ней работают законы Ньютона и условия равновесия. Шарики названы маленькими: их размеры много меньше радиуса R, поэтому считаем их материальными точками, а силы — приложенными в этих точках. Стержень невесомый: его вес в уравнения не входит, он только жёстко держит шарики на неизменном расстоянии, поэтому гантель — единое твёрдое тело, и для него нужны сразу два условия равновесия: сумма всех внешних сил равна нулю и сумма моментов этих сил относительно любой оси равна нулю. Между шариком m и стенкой трения нет — значит, реакция стенки строго перпендикулярна поверхности сферы, то есть направлена по радиусу к центру O. Под шариком M трение есть, и это трение покоя: его модуль заранее не известен, известно лишь ограничение f\le\mu N_1, где N_1 — сила нормального давления. Именно из этого неравенства и получится ответ.

Шаг 1 — геометрия. Возьмём центр выемки O за начало отсчёта. Нижняя точка (там шарик M) — это точка (0;-R), а шарик m поднят на высоту R над дном, то есть находится в точке (R;0). Значит, стержень Mm — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами R по горизонтали и R по вертикали.

Шаг 2 — какие силы действуют на гантель. Внешних сил пять: тяжесть Mg вниз в нижней точке; тяжесть mg вниз в точке шарика m; нормальная реакция дна N_1 вертикально вверх; сила трения покоя f в нижней точке — она горизонтальна, потому что касательная к сфере в нижней точке горизонтальна; нормальная реакция стенки N_2 на шарик m — вдоль радиуса от стенки к центру O, то есть горизонтально, «внутрь» ямки. Именно эти пять стрелок и надо изобразить на рисунке.

Шаг 3 — вертикальная проекция. По вертикали работают только N_1, Mg и mg (обе реакции N_2 и трение f горизонтальны): N_1=(M+m)g. Дно держит вес всей гантели — логично.

Шаг 4 — моменты относительно нижней точки. Ось возьмём в точке касания шарика M: тогда сразу вылетают три силы — Mg, N_1 и f (у них нулевое плечо). Остаются два момента. Сила тяжести mg приложена в точке (R;0), её плечо относительно нижней точки — горизонтальное смещение R, момент mgR вращает гантель в одну сторону. Реакция стенки N_2 горизонтальна, приложена там же, её плечо — вертикальное смещение R, момент N_2R вращает в другую сторону. Равновесие: mgR=N_2R\quad\Rightarrow\quad N_2=mg.

Шаг 5 — горизонтальная проекция. По горизонтали остаются только трение f и реакция стенки N_2, и они должны гасить друг друга: f=N_2=mg. Получается красиво: нижний шарик обязан удерживать трением ровно «вес» верхнего шарика.

Шаг 6 — условие, что гантель не поедет. Трение покоя не бывает больше максимального: f\le\mu N_1. Подставляем найденное: mg\le\mu (M+m)g. Сокращаем на g и выражаем M: m\le\mu M+\mu m\quad\Rightarrow\quad M\ge\frac{m(1-\mu)}{\mu}.

Шаг 7 — числа. m=60\ \text{г}=0{,}06\ \text{кг}, \mu=0{,}3: M\ge\frac{0{,}06\cdot(1-0{,}3)}{0{,}3}=\frac{0{,}042}{0{,}3}=0{,}14\ \text{кг}.

Проверим себя на здравый смысл: при M=0{,}14 кг дно давит с силой N_1=(0{,}14+0{,}06)\cdot10=2 Н, максимальное трение \mu N_1=0{,}3\cdot2=0{,}6 Н, а требуется удержать mg=0{,}06\cdot10=0{,}6 Н — впритык, как и должно быть на границе. Чем тяжелее M, тем надёжнее держит трение, поэтому верхней границы у массы нет: подходит любое M от 0{,}14 кг и больше.