ID: 00026651
На горизонтальном столе находится брусок массой М = 1 кг, соединённый невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий невесомый блок, с грузом массой m = 500 г. На брусок действует сила величиной F = 9 Н, направленная под углом α = 30 ° к горизонту (см. рисунок). В момент начала движения груз находится на расстоянии L = 40 см от края стола. Через какое время t груз поднимется до края стола, если коэффициент трения между бруском и столом m = 0,3? Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на брусок и груз. Трением в оси блока и трением о воздух пренебречь. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Источник: ФИПИ
Разберём картинку. На столе лежит брусок $M=1$ кг. Влево от него идёт нить, перекидывается через гладкий невесомый блок на краю стола и уходит вниз, где висит груз $m=500$ г $=0{,}5$ кг. К бруску приложена сила $F=9$ Н под углом $\alpha=30^\circ$ вверх к горизонту, направленная от блока. Брусок едет вправо и поднимает груз. Груз стартует из покоя, находясь на $L=40$ см $=0{,}4$ м ниже края стола; надо найти время, за которое он поднимется до края.
Обоснование модели. Систему отсчёта берём связанной со столом (с Землёй) — инерциальную. Брусок и груз движутся поступательно, вращения нет, поэтому оба считаем материальными точками и пишем для каждого второй закон Ньютона. Нить невесома и нерастяжима, блок гладкий и невесомый, трения в его оси нет: натяжение $T$ одинаково в обеих ветвях, а модули ускорений бруска и груза равны. Брусок скользит по столу, поэтому между ними действует сила трения скольжения $F_{\text{тр}}=\mu N$; важно, что нормальная реакция стола меньше $Mg$, потому что наклонная сила $F$ частично приподнимает брусок. Сопротивлением воздуха пренебрегаем. Все силы постоянны по модулю и направлению, значит ускорение постоянно и работают формулы равноускоренного движения.
Шаг 1 — нормальная реакция и трение. По вертикали брусок не движется: $$N=Mg-F\sin\alpha=1\cdot 10-9\cdot 0{,}5=5{,}5\ \text{Н},$$ $$F_{\text{тр}}=\mu N=0{,}3\cdot 5{,}5=1{,}65\ \text{Н}.$$
Шаг 2 — брусок по горизонтали. Ось вправо, в сторону движения. Тянет вперёд проекция $F\cos\alpha=9\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\approx 7{,}79$ Н, назад — натяжение и трение: $$F\cos\alpha-T-F_{\text{тр}}=Ma.$$
Шаг 3 — груз. Он поднимается с тем же по модулю ускорением: $$T-mg=ma\ \Longrightarrow\ T=m(g+a)=0{,}5(10+a).$$
Шаг 4 — ускорение. Подставляем натяжение в уравнение бруска: $$7{,}79-5-0{,}5a-1{,}65=a\ \Longrightarrow\ 1{,}14=1{,}5a\ \Longrightarrow\ a\approx 0{,}76\ \text{м/с}^2.$$
Шаг 5 — время подъёма. Движение равноускоренное из состояния покоя, путь груза равен $L$: $$L=\frac{at^2}{2}\ \Longrightarrow\ t=\sqrt{\frac{2L}{a}}=\sqrt{\frac{2\cdot 0{,}4}{0{,}76}}\approx\sqrt{1{,}05}\approx 1{,}0\ \text{с}.$$
Проверка: за секунду груз набирает скорость $\approx 0{,}76$ м/с и проходит $\dfrac{0{,}76}{2}\approx 0{,}38$ м — почти ровно те $40$ см, что и требовалось. Сходится.