ID: 00026648
Однородный тонкий стержень массой m одним концом шарнирно прикреплён к потолку, а другим концом опирается на массивную горизонтальную доску, образуя с ней угол $\alpha=30^{\circ}.$ Под действием горизонтальной силы $\overset{\to}{F}$ доска движется поступательно влево с постоянной скоростью (см. рисунок). Стержень при этом неподвижен. Найдите m , если $F=2$ Н, а коэффициент трения стержня по доске $\mathrm{\mu}=0,2.$ Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на стержень и доску. Трением доски по опоре и трением в шарнире пренебречь.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Источник: ФИПИ
Что нарисовано. Однородный тонкий стержень верхним концом сидит в шарнире на потолке, а нижним опирается на тяжёлую доску и составляет с ней угол $\alpha=30^\circ$. Доску тянут горизонтальной силой $F=2$ Н влево, и она едет равномерно, выскальзывая из-под стержня; сам стержень при этом стоит неподвижно. Коэффициент трения стержня о доску $\mu=0{,}2$, трение доски об опору и трение в шарнире не учитываем. Найти массу стержня.
Обоснование модели. Систему отсчёта берём связанной с полом (с Землёй) — инерциальную. Стержень тонкий и однородный, поэтому его сила тяжести приложена в середине; сам стержень — твёрдое тело в равновесии, и для него пишем правило моментов относительно шарнира (в шарнире действует неизвестная реакция потолка, и выбор оси именно там от неё избавляет). Доска движется поступательно и равномерно, значит равнодействующая приложенных к ней сил равна нулю — это второй закон Ньютона при нулевом ускорении. Нижний конец стержня скользит по доске, поэтому там действует сила трения скольжения $F_{\text{тр}}=\mu N$; на стержень она направлена в сторону движения доски (влево), а на доску — в противоположную сторону (вправо), по третьему закону Ньютона. Поверхность доски горизонтальна, поэтому её нормальная реакция на стержень вертикальна.
Шаг 1 — что действует на доску. Трения об опору нет, поэтому по горизонтали на доску действуют только приложенная сила $F$ (влево) и трение со стороны стержня (вправо). Раз доска едет равномерно: $$F=\mu N\ \Longrightarrow\ N=\frac{F}{\mu}=\frac{2}{0{,}2}=10\ \text{Н}.$$ Нормальная сила, которой стержень давит на доску, уже найдена.
Шаг 2 — силы на стержень. Их четыре: сила тяжести $mg$ в середине; со стороны доски — нормальная реакция $N$ (вертикально вверх) и трение $\mu N$ (горизонтально, в сторону движения доски); в шарнире — реакция потолка, которую мы исключаем выбором оси.
Шаг 3 — правило моментов относительно шарнира. Пусть $L$ — длина стержня. Нижний конец удалён от шарнира по горизонтали на $L\cos\alpha$, по вертикали на $L\sin\alpha$; середина — вдвое ближе. У вертикальных сил плечо горизонтальное, у горизонтальной силы трения — вертикальное: $$mg\cdot\frac{L}{2}\cos\alpha=N\cdot L\cos\alpha+\mu N\cdot L\sin\alpha.$$ Сила тяжести и трение крутят стержень в одну сторону, нормальная реакция — в другую.
Шаг 4 — выражаем массу. Длина сокращается: $$mg\cos\alpha=2N(\cos\alpha+\mu\sin\alpha)\ \Longrightarrow\ m=\frac{2N(\cos\alpha+\mu\sin\alpha)}{g\cos\alpha}.$$
Шаг 5 — числа. $\cos 30^\circ\approx 0{,}866$, $\sin 30^\circ=0{,}5$, поэтому $\cos\alpha+\mu\sin\alpha=0{,}866+0{,}1=0{,}966$: $$m=\frac{2\cdot 10\cdot 0{,}966}{10\cdot 0{,}866}=\frac{19{,}32}{8{,}66}\approx 2{,}2\ \text{кг}.$$
Проверка: при $m\approx 2{,}23$ кг вес стержня $\approx 22{,}3$ Н, а доска держит на себе лишь $N=10$ Н — остальное берёт на себя шарнир, и это логично: середина стержня ближе к шарниру, чем его нижний конец, поэтому потолок «несёт» большую часть веса.