Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00026647

Что происходит. Через идеальный блок перекинута нить, на её концах висят два груза. Первый груз массой $m_1$ перевешивает и опускается из состояния покоя с некоторым ускорением $a$ — его-то и надо найти. Второй опыт-подсказка: если первый груз опустить в жидкость плотностью $\rho$ (сосуд большой, уровень не меняется), система замирает в равновесии, причём в жидкости оказывается часть груза объёмом $V$. Масса второго груза в условии не дана — значит именно её и надо «вычислить» из опыта с жидкостью.

Обоснование модели. Систему отсчёта берём связанной с землёй — инерциальную. Грузы движутся поступательно, поэтому считаем их материальными точками и пишем второй закон Ньютона. Нить невесома и нерастяжима, блок идеальный (невесомый, трения в оси нет) — значит натяжение одинаково в обеих ветвях, а модули ускорений грузов равны. Сопротивление воздуха и вязкое трение жидкости не учитываем: во втором опыте система покоится, поэтому вязкость всё равно не работает — на погружённое тело действует только выталкивающая сила Архимеда $F_A=\rho g V$, равная весу вытесненной жидкости. Сосуд большого объёма, поэтому уровень жидкости при погружении не поднимается и объём погружённой части остаётся равным $V$. Массу второго груза обозначим $m_2$ — это вспомогательное неизвестное, оно сократится.

Шаг 1 — опыт с жидкостью (равновесие). Ускорения нет, значит для каждого груза сумма сил равна нулю. Для второго груза: $T=m_2g$. Для первого (он в жидкости): $$m_1g=T+F_A=m_2g+\rho g V.$$ Отсюда $$m_2=m_1-\rho V.$$ Вот и найдена масса второго груза — она меньше $m_1$ ровно на массу вытесненной жидкости.

Шаг 2 — опыт без жидкости. Первый груз опускается с ускорением $a$, второй с тем же ускорением поднимается. Ось для каждого направим в сторону его движения: $$m_1g-T'=m_1a,\qquad T'-m_2g=m_2a.$$

Шаг 3 — складываем уравнения. Натяжение $T'$ исчезает: $$(m_1-m_2)g=(m_1+m_2)a\ \Longrightarrow\ a=\frac{(m_1-m_2)g}{m_1+m_2}.$$

Шаг 4 — подставляем найденную массу. $m_1-m_2=\rho V$, а $m_1+m_2=2m_1-\rho V$, поэтому $$a=\frac{\rho V g}{2m_1-\rho V}.$$

Проверка на здравый смысл: если бы жидкость была совсем лёгкой ($\rho\to 0$), то для равновесия грузы должны были бы быть одинаковыми — и ускорение обратилось бы в ноль, что формула и показывает. А чем плотнее жидкость и чем больше погружённый объём, тем сильнее перевес первого груза и тем больше ускорение.