ID: 00026647
Два груза подвешены за нерастяжимую и невесомую нить к идеальному блоку, как показано на рисунке. При этом первый груз массой m _{1} движется из состояния покоя вниз с ускорением . Если первый груз опустить в жидкость плотностью ρ , находящуюся в сосуде большого объёма, система будет находиться в равновесии. При этом объём погружённой в жидкость части груза равен V . Определите ускорение первого груза. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Источник: ФИПИ
Что происходит. Через идеальный блок перекинута нить, на её концах висят два груза. Первый груз массой m_1 перевешивает и опускается из состояния покоя с некоторым ускорением a — его-то и надо найти. Второй опыт-подсказка: если первый груз опустить в жидкость плотностью \rho (сосуд большой, уровень не меняется), система замирает в равновесии, причём в жидкости оказывается часть груза объёмом V. Масса второго груза в условии не дана — значит именно её и надо «вычислить» из опыта с жидкостью.
Обоснование модели. Систему отсчёта берём связанной с землёй — инерциальную. Грузы движутся поступательно, поэтому считаем их материальными точками и пишем второй закон Ньютона. Нить невесома и нерастяжима, блок идеальный (невесомый, трения в оси нет) — значит натяжение одинаково в обеих ветвях, а модули ускорений грузов равны. Сопротивление воздуха и вязкое трение жидкости не учитываем: во втором опыте система покоится, поэтому вязкость всё равно не работает — на погружённое тело действует только выталкивающая сила Архимеда F_A=\rho g V, равная весу вытесненной жидкости. Сосуд большого объёма, поэтому уровень жидкости при погружении не поднимается и объём погружённой части остаётся равным V. Массу второго груза обозначим m_2 — это вспомогательное неизвестное, оно сократится.
Шаг 1 — опыт с жидкостью (равновесие). Ускорения нет, значит для каждого груза сумма сил равна нулю. Для второго груза: T=m_2g. Для первого (он в жидкости): m_1g=T+F_A=m_2g+\rho g V. Отсюда m_2=m_1-\rho V. Вот и найдена масса второго груза — она меньше m_1 ровно на массу вытесненной жидкости.
Шаг 2 — опыт без жидкости. Первый груз опускается с ускорением a, второй с тем же ускорением поднимается. Ось для каждого направим в сторону его движения: m_1g-T'=m_1a,\qquad T'-m_2g=m_2a.
Шаг 3 — складываем уравнения. Натяжение T' исчезает: (m_1-m_2)g=(m_1+m_2)a\ \Longrightarrow\ a=\frac{(m_1-m_2)g}{m_1+m_2}.
Шаг 4 — подставляем найденную массу. m_1-m_2=\rho V, а m_1+m_2=2m_1-\rho V, поэтому a=\frac{\rho V g}{2m_1-\rho V}.
Проверка на здравый смысл: если бы жидкость была совсем лёгкой (\rho\to 0), то для равновесия грузы должны были бы быть одинаковыми — и ускорение обратилось бы в ноль, что формула и показывает. А чем плотнее жидкость и чем больше погружённый объём, тем сильнее перевес первого груза и тем больше ускорение.