ID: 00026646
По неподвижной гладкой наклонной плоскости с углом α = 30 ° движутся два одинаковых бруска массой m = 0,25 кг каждый, скреплённые между собой лёгкой пружиной с жёсткостью k = 100 Н/м. Верхний брусок соединён невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через идеальный блок, с грузом массой М = 2 кг (см. рисунок). Чему равна длина пружины l в нерастянутом состоянии, если при движении брусков её длина постоянна и равна L = 15 см? Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на тела. Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.
Источник: ФИПИ
Разберём картинку. По гладкой наклонной плоскости с углом $\alpha=30^\circ$ едут два одинаковых бруска по $m=0{,}25$ кг, скреплённые между собой лёгкой пружиной жёсткостью $k=100$ Н/м. Верхний брусок нитью через идеальный блок на вершине связан с грузом $M=2$ кг, который висит вертикально. Груз перевешивает и тянет всю связку вверх по склону. Длина пружины при движении не меняется и равна $L=15$ см. Надо найти её длину в нерастянутом состоянии.
Обоснование модели. Систему отсчёта берём связанной с наклонной плоскостью (с Землёй) — инерциальную, плоскость неподвижна. Бруски и груз движутся поступательно, поэтому считаем их материальными точками и пишем для каждого второй закон Ньютона. Нить невесома и нерастяжима, блок идеальный (невесомый, без трения): натяжение одинаково в обеих ветвях, а модули ускорений всех трёх тел равны — это и позволяет говорить об одном общем ускорении $a$. Пружина лёгкая: её масса не учитывается, поэтому силы, с которыми она действует на верхний и нижний бруски, равны по модулю и подчиняются закону Гука $F_{\text{упр}}=k\Delta l$. Ключевой факт из условия — длина пружины при движении постоянна: значит бруски движутся с одинаковым ускорением, а деформация пружины не меняется. Наклонная плоскость гладкая, трения нет, поэтому вдоль склона на каждый брусок действуют только проекция силы тяжести и силы упругости/натяжения.
Шаг 1 — ускорение системы. Удобно взять всю систему целиком: движущая сила — вес груза $Mg$, тормозит — проекция силы тяжести двух брусков на склон $2mg\sin\alpha$, разгоняется вся масса $M+2m$: $$a=\frac{Mg-2mg\sin\alpha}{M+2m}=\frac{2\cdot 10-2\cdot 0{,}25\cdot 10\cdot 0{,}5}{2+0{,}5}=\frac{20-2{,}5}{2{,}5}=7\ \text{м/с}^2.$$
Шаг 2 — теперь только нижний брусок. К нему нить не привязана, на него вдоль склона действуют лишь две силы: сила упругости пружины $F_{\text{упр}}$ (тянет вверх по склону, ведь именно пружина «везёт» этот брусок) и проекция силы тяжести $mg\sin\alpha$ (вниз по склону). Ось направим вверх по склону, в сторону движения: $$F_{\text{упр}}-mg\sin\alpha=ma.$$
Шаг 3 — сила упругости. $$F_{\text{упр}}=m(a+g\sin\alpha)=0{,}25\,(7+10\cdot 0{,}5)=0{,}25\cdot 12=3\ \text{Н}.$$ Раз сила положительна, пружина действительно растянута — она тянет нижний брусок вслед за верхним.
Шаг 4 — удлинение по закону Гука. $$\Delta l=\frac{F_{\text{упр}}}{k}=\frac{3}{100}=0{,}03\ \text{м}=3\ \text{см}.$$
Шаг 5 — нерастянутая длина. При движении пружина растянута на $3$ см и имеет длину $15$ см, значит без нагрузки её длина $$l=L-\Delta l=15-3=12\ \text{см}=0{,}12\ \text{м}.$$
Проверка: посмотрим на верхний брусок. На него действуют натяжение $T$ вверх по склону, упругость пружины $3$ Н вниз по склону (пружина тянет его назад) и $mg\sin\alpha=1{,}25$ Н вниз по склону. Тогда $T=m a+3+1{,}25=1{,}75+4{,}25=6$ Н. А для груза: $Mg-T=2\cdot 10-6=14=Ma=2\cdot 7$ — сходится.