ID: 00026639
Тонкий однородный стержень АВ постоянного сечения шарнирно закреплён в точке А и удерживается горизонтальной нитью ВС (см. рисунок), угол наклона стержня к горизонту a = 60 ° . Трение в шарнире пренебрежимо мало́. Найдите массу стержня m , если модуль силы \overset{\to}{F} , с которой шарнир действует на стержень, равен 15 Н. Сделайте рисунок, на котором укажите все силы, действующие на стержень.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Источник: ФИПИ
Что нарисовано. Тонкий однородный стержень AB нижним концом A сидит в шарнире на стене, а верхний конец B удерживается горизонтальной нитью BC, привязанной к стене выше. Стержень наклонён к горизонту под углом \alpha=60^\circ. Известно, что шарнир действует на стержень силой F=15 Н. Нужна масса стержня.
Обоснование модели. Систему отсчёта берём связанной с землёй — инерциальную, всё покоится. Стержень тонкий и однородный, поэтому его сила тяжести приложена в середине; при этом он не материальная точка — это твёрдое тело, и для него нужны оба условия равновесия: сумма сил равна нулю и сумма моментов сил относительно любой оси равна нулю. Нить невесома и нерастяжима, поэтому сила её натяжения направлена вдоль нити, то есть строго горизонтально. Трение в шарнире пренебрежимо мало, но это не значит, что сила шарнира направлена вдоль стержня: шарнир может давить на стержень в любом направлении, поэтому силу \vec F раскладываем на горизонтальную и вертикальную составляющие. Наконец, стержень покоится, значит все три силы — тяжесть, натяжение и реакция шарнира — уравновешивают друг друга.
Шаг 1 — силы и обозначения. Пусть L — длина стержня, m — искомая масса, T — натяжение нити, F_x и F_y — составляющие силы шарнира. Силы: тяжесть mg вниз в середине стержня; натяжение T горизонтально от B к стене; реакция шарнира в A.
Шаг 2 — сумма сил. По вертикали кроме тяжести есть только вертикальная составляющая шарнира: F_y=mg. По горизонтали натяжение уравновешивается горизонтальной составляющей шарнира: F_x=T.
Шаг 3 — правило моментов относительно шарнира A. Реакция шарнира приложена в A и момента не даёт — потому ось и выбираем там. Плечо силы тяжести (она вертикальна) — это горизонтальное расстояние от A до середины стержня, то есть \dfrac{L}{2}\cos\alpha. Плечо натяжения (оно горизонтально) — это вертикальное расстояние от A до точки B, то есть L\sin\alpha: mg\cdot\frac{L}{2}\cos\alpha=T\cdot L\sin\alpha\ \Longrightarrow\ T=\frac{mg}{2}\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{mg}{2\tan\alpha}.
Шаг 4 — считаем натяжение через mg. При \alpha=60^\circ: \tan 60^\circ=\sqrt{3}, поэтому T=\dfrac{mg}{2\sqrt{3}}.
Шаг 5 — модуль силы шарнира. Составляющие перпендикулярны, значит F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=\sqrt{T^2+(mg)^2}=mg\sqrt{\frac{1}{12}+1}=mg\sqrt{\frac{13}{12}}.
Шаг 6 — выражаем массу. m=\frac{F}{g}\sqrt{\frac{12}{13}}=\frac{15}{10}\cdot 0{,}961\approx 1{,}44\ \text{кг}.
Проверка: при m\approx 1{,}44 кг вес стержня mg\approx 14{,}4 Н, натяжение T\approx 4{,}2 Н, и \sqrt{14{,}4^2+4{,}2^2}\approx 15 Н — как и задано. Заметьте, длина стержня в ответ не вошла: она сократилась в правиле моментов.