ID: 00026639
Тонкий однородный стержень АВ постоянного сечения шарнирно закреплён в точке А и удерживается горизонтальной нитью ВС (см. рисунок), угол наклона стержня к горизонту a = 60 ° . Трение в шарнире пренебрежимо мало́. Найдите массу стержня m , если модуль силы $\overset{\to}{F}$ , с которой шарнир действует на стержень, равен 15 Н. Сделайте рисунок, на котором укажите все силы, действующие на стержень.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Источник: ФИПИ
Что нарисовано. Тонкий однородный стержень $AB$ нижним концом $A$ сидит в шарнире на стене, а верхний конец $B$ удерживается горизонтальной нитью $BC$, привязанной к стене выше. Стержень наклонён к горизонту под углом $\alpha=60^\circ$. Известно, что шарнир действует на стержень силой $F=15$ Н. Нужна масса стержня.
Обоснование модели. Систему отсчёта берём связанной с землёй — инерциальную, всё покоится. Стержень тонкий и однородный, поэтому его сила тяжести приложена в середине; при этом он не материальная точка — это твёрдое тело, и для него нужны оба условия равновесия: сумма сил равна нулю и сумма моментов сил относительно любой оси равна нулю. Нить невесома и нерастяжима, поэтому сила её натяжения направлена вдоль нити, то есть строго горизонтально. Трение в шарнире пренебрежимо мало, но это не значит, что сила шарнира направлена вдоль стержня: шарнир может давить на стержень в любом направлении, поэтому силу $\vec F$ раскладываем на горизонтальную и вертикальную составляющие. Наконец, стержень покоится, значит все три силы — тяжесть, натяжение и реакция шарнира — уравновешивают друг друга.
Шаг 1 — силы и обозначения. Пусть $L$ — длина стержня, $m$ — искомая масса, $T$ — натяжение нити, $F_x$ и $F_y$ — составляющие силы шарнира. Силы: тяжесть $mg$ вниз в середине стержня; натяжение $T$ горизонтально от $B$ к стене; реакция шарнира в $A$.
Шаг 2 — сумма сил. По вертикали кроме тяжести есть только вертикальная составляющая шарнира: $$F_y=mg.$$ По горизонтали натяжение уравновешивается горизонтальной составляющей шарнира: $$F_x=T.$$
Шаг 3 — правило моментов относительно шарнира $A$. Реакция шарнира приложена в $A$ и момента не даёт — потому ось и выбираем там. Плечо силы тяжести (она вертикальна) — это горизонтальное расстояние от $A$ до середины стержня, то есть $\dfrac{L}{2}\cos\alpha$. Плечо натяжения (оно горизонтально) — это вертикальное расстояние от $A$ до точки $B$, то есть $L\sin\alpha$: $$mg\cdot\frac{L}{2}\cos\alpha=T\cdot L\sin\alpha\ \Longrightarrow\ T=\frac{mg}{2}\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{mg}{2\tan\alpha}.$$
Шаг 4 — считаем натяжение через $mg$. При $\alpha=60^\circ$: $\tan 60^\circ=\sqrt{3}$, поэтому $T=\dfrac{mg}{2\sqrt{3}}$.
Шаг 5 — модуль силы шарнира. Составляющие перпендикулярны, значит $$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=\sqrt{T^2+(mg)^2}=mg\sqrt{\frac{1}{12}+1}=mg\sqrt{\frac{13}{12}}.$$
Шаг 6 — выражаем массу. $$m=\frac{F}{g}\sqrt{\frac{12}{13}}=\frac{15}{10}\cdot 0{,}961\approx 1{,}44\ \text{кг}.$$
Проверка: при $m\approx 1{,}44$ кг вес стержня $mg\approx 14{,}4$ Н, натяжение $T\approx 4{,}2$ Н, и $\sqrt{14{,}4^2+4{,}2^2}\approx 15$ Н — как и задано. Заметьте, длина стержня в ответ не вошла: она сократилась в правиле моментов.