ID: 00026638
Если в установке, изображённой на рисунке, первоначально покоящуюся тележку толкнуть влево, то она движется с ускорением 2 м/с². Если же тележку толкнуть вправо, то она движется равномерно. Найдите массу грузика на нити, если масса тележки равна 450 г. Массами блока и нити пренебречь. Нить нерастяжима. Модуль силы сопротивления движению тележки считать постоянным и одинаковым в обоих случаях, трением в оси блока пренебречь. Сделайте рисунки с указанием сил, действующих на тела в обоих случаях. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Источник: ФИПИ
Что на установке. По столу катается тележка массой $M=450$ г $=0{,}45$ кг. К ней привязана нить, которая идёт вправо, перекидывается через блок на краю стола и уходит вниз, где висит грузик массой $m$. Тележку толкают и отпускают: дальше на неё действуют только натяжение нити и постоянная сила сопротивления. Если толкнуть влево (от блока), грузик поднимается, и тележка тормозит с ускорением $2$ м/с². Если толкнуть вправо (к блоку), грузик опускается, и тележка едет равномерно. Найти $m$.
Обоснование модели. Система отсчёта, связанная со столом (с Землёй), инерциальная. Тележка движется поступательно, грузик не вращается — оба считаем материальными точками и пишем второй закон Ньютона. Нить невесома и нерастяжима, блок невесом, трения в его оси нет: натяжение $T$ одинаково по всей нити, а нерастяжимость даёт равенство модулей скоростей и ускорений тележки и грузика. Сила сопротивления движению тележки по условию постоянна по модулю и одинакова в обоих опытах, а направлена всегда против скорости тележки — это и есть та «третья» сила, которую надо найти из второго опыта. Сила тяжести грузика равна $mg$, направление осей в каждом опыте берём вдоль движения.
Шаг 1 — второй опыт (равномерное движение). Тележка едет вправо равномерно, значит её ускорение равно нулю и ускорение грузика тоже. Для грузика (он опускается): $mg-T=0$, то есть $T=mg$. Для тележки: натяжение $T$ тянет её вправо, сопротивление $F_{\text{с}}$ — влево: $$T-F_{\text{с}}=0\ \Longrightarrow\ F_{\text{с}}=T=mg.$$ Вот и найдена сила сопротивления: она равна весу грузика.
Шаг 2 — первый опыт (движение влево). Теперь тележка едет влево, грузик поднимается. Обе силы — и натяжение (оно тянет тележку вправо, к блоку), и сопротивление (оно против движения, то есть вправо) — направлены против скорости, поэтому тележка тормозит, и её ускорение по модулю $a=2$ м/с² направлено вправо. Грузик, поднимаясь, тоже тормозит с тем же по модулю ускорением.
Шаг 3 — уравнения первого опыта. Ось направим в сторону движения (тележка влево, грузик вверх), ускорение тогда отрицательное: для грузика $$T-mg=m(-a)\ \Longrightarrow\ T=m(g-a),$$ для тележки $$-T-F_{\text{с}}=M(-a)\ \Longrightarrow\ T+F_{\text{с}}=Ma.$$
Шаг 4 — соединяем. Подставляем $T=m(g-a)$ и $F_{\text{с}}=mg$: $$m(g-a)+mg=Ma\ \Longrightarrow\ m(2g-a)=Ma\ \Longrightarrow\ m=\frac{Ma}{2g-a}.$$
Шаг 5 — числа. $$m=\frac{0{,}45\cdot 2}{2\cdot 10-2}=\frac{0{,}9}{18}=0{,}05\ \text{кг}=50\ \text{г}.$$
Проверка: $F_{\text{с}}=mg=0{,}5$ Н, натяжение в первом опыте $T=m(g-a)=0{,}05\cdot 8=0{,}4$ Н. Сумма $0{,}9$ Н тормозит тележку: $\dfrac{0{,}9}{0{,}45}=2$ м/с² — ровно как в условии.