ID: 00026635
На гладком горизонтальном столе лежит доска массой М = 1 кг и длиной L = 50 см. На левом краю доски находится маленький брусок массой m = 200 г. Брусок и доска связаны невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый гладкий блок, закреплённый на стене (отрезки нити, не лежащие на блоке, горизонтальны). Коэффициент трения между бруском и доской μ = 0,2. Брусок начинают тянуть вправо горизонтальной силой F = 1,2 Н. Через какое время t после начала движения брусок соскользнёт с доски? Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на тела. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Источник: ФИПИ
Разберём картинку. На гладком столе лежит доска ($M=1$ кг, длина $L=50$ см $=0{,}5$ м), на её левом краю — маленький брусок ($m=200$ г $=0{,}2$ кг). Брусок и доска связаны нитью, перекинутой через блок, закреплённый на стене слева, обе ветви нити горизонтальны. Брусок тянут вправо силой $F=1{,}2$ Н. Нить через блок заставляет доску ехать в противоположную сторону — влево. Брусок ползёт по доске вправо и в какой-то момент с неё соскальзывает.
Обоснование модели. Систему отсчёта берём связанной со столом (с Землёй) — инерциальную. Брусок маленький, считаем его материальной точкой; доска движется поступательно, поэтому её тоже описываем вторым законом Ньютона как материальную точку. Нить невесома и нерастяжима, блок невесом и гладкий: натяжение $T$ одинаково в обеих ветвях, а нерастяжимость даёт равенство модулей ускорений бруска и доски (они движутся навстречу друг другу, но с одинаковым по модулю ускорением — иначе нить порвалась бы или провисла). Между бруском и доской есть скольжение, поэтому там действует сила трения скольжения $F_{\text{тр}}=\mu N$ по закону Амонтона—Кулона, причём на брусок она направлена против его движения относительно доски, а на доску — в обратную сторону (третий закон Ньютона). Стол гладкий, трения «доска — стол» нет. Силы постоянны, значит движение равноускоренное, и можно пользоваться формулами кинематики.
Шаг 1 — сила трения между бруском и доской. Брусок давит на доску только своим весом: $N=mg=0{,}2\cdot 10=2$ Н, поэтому $$F_{\text{тр}}=\mu N=0{,}2\cdot 2=0{,}4\ \text{Н}.$$
Шаг 2 — второй закон Ньютона для бруска. Ось направим в сторону его движения (вправо). На брусок действуют: $F$ вправо, натяжение $T$ влево (нить уходит к блоку) и трение $F_{\text{тр}}$ влево (доска уезжает влево, значит брусок скользит по ней вправо): $$F-T-F_{\text{тр}}=ma.$$
Шаг 3 — второй закон Ньютона для доски. Ось — в сторону её движения (влево). Доску тянет влево натяжение $T$, а брусок трением тащит вправо с той же по модулю силой $F_{\text{тр}}$: $$T-F_{\text{тр}}=Ma.$$
Шаг 4 — складываем. Натяжение уходит: $$F-2F_{\text{тр}}=(M+m)a\ \Longrightarrow\ a=\frac{1{,}2-2\cdot 0{,}4}{1+0{,}2}=\frac{0{,}4}{1{,}2}=\frac{1}{3}\ \text{м/с}^2.$$
Шаг 5 — относительное движение. Брусок и доска едут в разные стороны, поэтому относительно доски брусок разгоняется с ускорением $a_{\text{отн}}=a+a=2a=\dfrac{2}{3}$ м/с². Стартовали из покоя, значит относительное перемещение растёт как $s=\dfrac{a_{\text{отн}}t^2}{2}$.
Шаг 6 — когда соскользнёт. Брусок начинал у левого края и должен пройти относительно доски всю её длину $L$: $$L=\frac{2a\,t^2}{2}=a t^2\ \Longrightarrow\ t=\sqrt{\frac{L}{a}}=\sqrt{\frac{0{,}5}{1/3}}=\sqrt{1{,}5}\approx 1{,}2\ \text{с}.$$
Проверка: за это время каждое тело успевает проехать $\dfrac{a t^2}{2}=0{,}25$ м, они разъезжаются в разные стороны — вместе как раз $0{,}5$ м, то есть длина доски. Сходится.