ID: 00026634
К бруску массой М прикреплён лёгкий блок (см. рисунок), через него переброшена лёгкая нерастяжимая нить, один конец которой привязан к стене, а к другому прикреплено тело массой m . На брусок действует сила F . Определите ускорение бруска. Свободные куски нити горизонтальны и лежат в одной вертикальной плоскости, тела двигаются вдоль одной прямой. Массой блока и нити, а также трением пренебречь. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Источник: ФИПИ
Разберём конструкцию. На гладком полу стоит брусок массой $M$, к нему намертво прикреплён лёгкий блок. Через блок переброшена нить: один её конец привязан к стене справа, второй — к телу массой $m$, которое лежит на полу справа от бруска. Силой $\vec F$ брусок тянут влево, от стены. Оба свободных куска нити горизонтальны.
Обоснование модели. Систему отсчёта берём связанной с полом (с Землёй) — она инерциальная. Брусок и тело движутся поступательно вдоль одной прямой, вращения нет, поэтому оба считаем материальными точками и пишем для них второй закон Ньютона. Нить невесома и нерастяжима, блок невесом, трения в оси блока нет — значит натяжение $T$ одинаково по всей длине нити, включая оба куска, идущих от блока. Трения о пол нет, поэтому по горизонтали на брусок действуют только сила $F$ и силы натяжения нити, а сила тяжести и реакция пола вертикальны и в горизонтальное уравнение не входят. И главное — нерастяжимость нити связывает движения: полная длина нити постоянна, а значит перемещения бруска и тела не независимы.
Шаг 1 — кинематическая связь. Пусть блок (вместе с бруском) сместился влево на $s$. Кусок нити «блок — стена» при этом удлинился на $s$. Но нить нерастяжима, полная её длина не меняется, значит второй кусок «блок — тело» укоротился на $s$ — то есть тело подошло к блоку на $s$. Но и сам блок уехал влево на $s$, поэтому тело сместилось влево на $s+s=2s$. Отсюда для скоростей и ускорений: $$\upsilon_m=2\upsilon,\qquad a_m=2a.$$ Тело движется вдвое быстрее бруска — иначе нить пришлось бы растянуть.
Шаг 2 — второй закон Ньютона для тела $m$. На тело по горизонтали действует только натяжение нити $T$, тянущее его влево, к блоку: $$T=m\,a_m=2ma.$$
Шаг 3 — второй закон Ньютона для бруска $M$. К бруску приложена сила $F$ (влево) и через ось блока — давление нити. Оба куска нити уходят от блока вправо (один к стене, второй к телу), каждый тянет с силой $T$, поэтому суммарно нить тянет блок, а с ним и брусок, вправо с силой $2T$: $$F-2T=Ma.$$
Шаг 4 — решаем систему. Подставляем $T=2ma$: $$F-4ma=Ma\ \Longrightarrow\ F=(M+4m)a\ \Longrightarrow\ a=\frac{F}{M+4m}.$$
Проверка на здравый смысл: если тело очень лёгкое ($m\to 0$), получаем $a=F/M$ — просто разгон бруска силой $F$, как и должно быть. А коэффициент $4$ при $m$ появился не случайно: один множитель $2$ — потому что тело разгоняется вдвое быстрее, второй — потому что нить давит на блок сразу двумя ветвями.