Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00026630

Разберёмся, что нарисовано. Горизонтальная труба перегорожена поршнем, который ходит без трения. Слева труба открыта — там просто атмосфера, и в этой же левой части поршень пришит пружиной к торцевой стенке. Справа заперт воздух, и правый торец закрыт пробкой. Пружина изначально растянута, то есть тянет поршень влево, к стенке.

Обоснование модели. Систему отсчёта связываем с сосудом (с Землёй) — она инерциальная. Поршень движется поступательно и не деформируется, поэтому его считаем материальной точкой массой $m$ и пишем для него второй закон Ньютона. Трения нет, значит механическая энергия системы «поршень + пружина» сохраняется и колебания не затухают. Пружина лёгкая и подчиняется закону Гука: сила упругости пропорциональна деформации и направлена к положению недеформированной пружины — именно такая сила и даёт гармонические колебания. Сосуд горизонтальный, поэтому сила тяжести направлена поперёк движения и в уравнение вдоль трубы не входит. Воздух считаем идеальным газом при постоянной температуре, так что для него работает закон Бойля—Мариотта, а давление в неподвижном газе одинаково по всему объёму (закон Паскаля).

Шаг 1 — что было до вынимания пробки. На поршень действуют: слева атмосфера, она давит вправо с силой $p_0S$ ($p_0$ — атмосферное давление, $S$ — площадь поршня); справа запертый воздух давит влево с силой $pS$; пружина растянута и тянет влево с силой $F_{\text{упр}}=kx_0$ ($k$ — жёсткость, $x_0$ — начальное растяжение). Равновесие: $$p_0S=pS+kx_0.$$

Отсюда сразу интересный вывод: $p=p_0-\dfrac{kx_0}{S}\lt p_0$. Запертый воздух был разрежен — его давление меньше атмосферного, и именно эта нехватка давления справа уравновешивала тягу растянутой пружины.

Шаг 2 — вынули пробку. Правая часть теперь сообщается с атмосферой, поэтому давление справа мгновенно становится равным $p_0$. Силы давления слева и справа теперь равны по модулю и противоположны: $p_0S$ и $p_0S$ — они компенсируют друг друга. Некомпенсированной остаётся только сила упругости пружины.

Шаг 3 — как пойдёт движение. Растянутая пружина тянет поршень влево, поршень разгоняется. По мере движения влево растяжение уменьшается, сила падает и в момент, когда пружина недеформирована, обращается в ноль — но скорость поршня в этой точке максимальна, и он проскакивает дальше. Пружина начинает сжиматься и тормозит поршень; он останавливается, сжав её на ту же величину $x_0$, и его гонит обратно.

Шаг 4 — какие это колебания. Уравнение движения вдоль трубы: $ma=-kx$, где $x$ — смещение от положения недеформированной пружины. Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой $\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$ и периодом $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$. Трения нет, поэтому колебания незатухающие, а амплитуда равна начальному растяжению $x_0$.

И всё сходится: до вынимания пробки поршень держал перепад давлений, а как только перепад исчез, единственной силой осталась упругая — и поршень превратился в обычный пружинный маятник.