ID: 00026629
Однородный брусок AB массой $M$ постоянного прямоугольного сечения лежит на гладкой горизонтальной поверхности стола, свешиваясь с него менее чем наполовину (см. рисунок). К правому концу бруска прикреплена невесомая нерастяжимая нить. Другой конец нити закреплён на меньшем из двух дисков невесомого составного блока. На большем диске этого блока закреплена другая невесомая нерастяжимая нить, на которой висит груз массой m . Диски скреплены друг с другом и образуют единое целое. $R=10см,r=7\text{см}.$ Найдите максимальное значение дроби $\dfrac{m}{M}$ , при котором система тел остаётся неподвижной. Трением в оси блока пренебречь. Сделайте рисунок, на котором укажите все силы, действующие на брусок, груз и блок.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Источник: ФИПИ
Сначала распутаем сюжет. Брусок $AB$ лежит на гладком столе и немного свешивается за его край. К правому концу $B$ привязана нить, она идёт вверх и намотана на маленький диск составного блока ($r=7\ \text{см}$). На большом диске того же блока ($R=10\ \text{см}$) висит на второй нити груз массой $m$. Груз тянет блок, блок тянет нить, нить тянет конец $B$ бруска вверх. Вопрос: до какой тяжести груза брусок ещё лежит спокойно.
Обоснование модели. Систему отсчёта берём связанной со столом (с Землёй) — она инерциальная, стол неподвижен. Груз $m$ мал и не вращается, его считаем материальной точкой. А вот брусок материальной точкой считать нельзя: спрашивают именно про опрокидывание, поэтому для него пишем условия равновесия твёрдого тела — ноль суммы сил и ноль суммы моментов. Нити невесомы и нерастяжимы, а трения в оси блока нет — значит натяжение вдоль каждой нити одинаково по всей длине. Блок невесом: у него нулевая масса и нулевой момент инерции, поэтому сумма моментов приложенных к нему сил обязана равняться нулю (иначе угловое ускорение было бы бесконечным). Наконец, стол умеет только отталкивать брусок вверх, притягивать его он не может — из этого запрета и вырастет условие опрокидывания.
Шаг 1 — блок. Обозначим $T$ — натяжение нити, идущей к бруску (она на диске радиуса $r$), а на большом диске радиуса $R$ висит груз, и там натяжение равно $mg$ (груз в покое). Сумма моментов относительно оси блока: $T\,r=mg\,R$, откуда $T=\dfrac{mgR}{r}$.
Обратите внимание: $R\gt r$, поэтому $T\gt mg$ — составной блок работает как рычаг и усиливает натяжение. Численно $\dfrac{R}{r}=\dfrac{10}{7}$, то есть $T=\dfrac{10}{7}mg$.
Шаг 2 — как именно брусок может «уехать». Стол гладкий, но все силы вертикальны, поэтому скользить бруску некуда. Остаётся поворот. Нить тянет конец $B$ вверх. Свисающая часть подняться может, а левый конец $A$ провалиться в стол не может. Значит единственное движение, которое бруску доступно, — поворот вокруг конца $A$: правая часть отрывается от стола, а вся опора собирается в точке $A$.
Шаг 3 — моменты для бруска. Пусть $L$ — длина бруска. Брусок однороден, поэтому сила тяжести $Mg$ приложена в его середине, плечо относительно $A$ равно $\dfrac{L}{2}$. Натяжение $T$ приложено к концу $B$, плечо равно $L$. Брусок остаётся на месте, пока момент, прижимающий его к столу, не меньше момента, поднимающего его: $$Mg\cdot\frac{L}{2}\ \ge\ T\cdot L.$$
Длина $L$ сокращается — и это важный вывод: результат не зависит ни от длины бруска, ни от того, насколько сильно он свешивается (условие «менее чем наполовину» нужно лишь для того, чтобы брусок не опрокинулся сам по себе, без нити). Остаётся $T\le\dfrac{Mg}{2}$.
Шаг 4 — считаем. Подставляем $T=\dfrac{mgR}{r}$: $$\frac{mgR}{r}\le\frac{Mg}{2}\ \Longrightarrow\ \frac{m}{M}\le\frac{r}{2R}=\frac{7}{2\cdot 10}=0{,}35.$$
И всё сходится: чем больше «выигрыш» блока $R/r$, тем меньший груз способен приподнять брусок, а предельная дробь равна $0{,}35$.