ID: 00026585
Условимся считать изображение на плёнке фотоаппарата резким, если вместо идеального изображения в виде точки на плёнке получается изображение пятна диаметром не более 0,05 мм. Поэтому если объектив находится на фокусном расстоянии от плёнки, то резкими считаются не только бесконечно удалённые предметы, но и все предметы, находящиеся дальше некоторого расстояния d . Найдите фокусное расстояние объектива, если при «относительном отверстии» α = 4 резкими оказались все предметы далее 12,5 м. («Относительное отверстие» – это отношение фокусного расстояния к диаметру входного отверстия объектива.) Сделайте рисунок, поясняющий образование пятна.
Источник: ФИПИ
Разберёмся, откуда вообще берётся нерезкость. Объектив стоит на фокусном расстоянии от плёнки — значит, он «наведён на бесконечность»: свет от бесконечно далёкой точки собирается точно в фокусе, то есть точно на плёнке. А вот от точки на конечном расстоянии $d$ изображение получается чуть дальше фокуса, за плёнкой. Плёнка перехватывает сходящийся конус лучей до того, как он сошёлся в точку, — и вместо точки на ней получается пятнышко. Чем ближе предмет, тем больше пятно. Условие резкости: пятно не крупнее $\delta=0{,}05$ мм.
Шаг 1 — где строится изображение точки на расстоянии $d$. По формуле тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$, откуда $$f=\frac{dF}{d-F}.$$ Плёнка стоит на расстоянии $F$, а изображение — на расстоянии $f$, то есть на $$\Delta=f-F=\frac{dF}{d-F}-F=\frac{dF-F\left(d-F\right)}{d-F}=\frac{F^{2}}{d-F}$$ дальше плёнки.
Шаг 2 — размер пятна. От оправы объектива диаметром $D$ лучи сходятся в точку на расстоянии $f$. Сечение этого конуса плоскостью плёнки — круг диаметром $\delta$, и из подобия треугольников $$\frac{\delta}{D}=\frac{\Delta}{f}.$$ Подставим найденные величины: $$\frac{\Delta}{f}=\frac{F^{2}}{d-F}\cdot\frac{d-F}{dF}=\frac{F}{d}\quad\Rightarrow\quad\delta=\frac{DF}{d}.$$ Приятно, что громоздкая разность $d-F$ сократилась.
Шаг 3 — вспоминаем про относительное отверстие. По определению $\alpha=\dfrac{F}{D}$, то есть $D=\dfrac{F}{\alpha}$. Тогда $$\delta=\frac{F}{\alpha}\cdot\frac{F}{d}=\frac{F^{2}}{\alpha d}.$$
Шаг 4 — граничный случай и расчёт. Самый близкий из ещё резких предметов — тот, для которого пятно ровно равно предельному $\delta$. Отсюда $$F=\sqrt{\delta\alpha d}=\sqrt{0{,}05\cdot10^{-3}\cdot4\cdot12{,}5}=\sqrt{5\cdot10^{-5}\cdot50}=\sqrt{2{,}5\cdot10^{-3}}=0{,}05\ \text{м}=50\ \text{мм}.$$
Сверимся с реальностью: объектив с фокусным расстоянием $50$ мм и относительным отверстием 4 (то есть диаметром входного отверстия $12{,}5$ мм) — это классический «полтинник» плёночного фотоаппарата, а глубина резкости у него от $12{,}5$ м до бесконечности при наводке на бесконечность. Всё честно.
Почему модель именно такая. Объектив считаем тонкой линзой в параксиальном приближении, поэтому применима формула тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$ — она и даёт, насколько изображение «промахивается» мимо плёнки. Дальше используется прямолинейность распространения света: лучи от края оправы идут прямо к точке схождения, поэтому сечение конуса плоскостью плёнки находится из подобия треугольников. Наконец, определение относительного отверстия $\alpha=\dfrac{F}{D}$ связывает диаметр объектива с его фокусным расстоянием, а условие резкости $\delta\le0{,}05$ мм превращается в равенство именно для граничного расстояния $d$.