Задание 25 ЕГЭ по физике: Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC расположен перед…

Треугольник у нас маленький (катет всего 4 см), а стоит он далеко — около точки 2F. Катет AC лежит на самой оси, вершина прямого угла C ближе к линзе, вершина A дальше, а второй катет BC торчит вверх перпендикулярно оси. Строить изображение будем по вершинам: у тонкой линзы прямые переходят в прямые, поэтому достаточно найти изображения трёх точек и соединить их.

Шаг 1 — фокусное расстояние и расположение вершин. F=\dfrac{1}{D}=\dfrac{1}{2{,}5}=0{,}4\ \text{м}=40 см. Точка C удалена от линзы на 2F=80 см. Треугольник равнобедренный прямоугольный с прямым углом при C, значит катеты равны: BC=AC=4 см. Вершина A дальше C на длину катета: d_{A}=80+4=84 см. Вершина B стоит прямо над C, поэтому её расстояние до линзы тоже 80 см, а высота над осью — 4 см.

Шаг 2 — изображение точки C. Это классический случай d=2F: f_{C}=\frac{d_{C}F}{d_{C}-F}=\frac{80\cdot40}{80-40}=80\ \text{см}, увеличение \Gamma_{C}=\dfrac{f_{C}}{d_{C}}=1. Точка C лежит на оси, её изображение C' — тоже на оси, в 80 см за линзой.

Шаг 3 — изображение точки B. У неё то же расстояние до линзы, поэтому f_{B}=80 см и \Gamma_{B}=1, но изображение перевёрнутое: B' окажется на 4 см ниже оси, в том же сечении 80 см. Значит, отрезок B'C' по-прежнему перпендикулярен оси и имеет длину 4 см.

Шаг 4 — изображение точки A. f_{A}=\frac{84\cdot40}{84-40}=\frac{3360}{44}=\frac{840}{11}\approx76{,}4\ \text{см}. Она тоже на оси, но ближе к линзе, чем C'.

Шаг 5 — что за фигура получилась. Катет вдоль оси стал короче: A'C'=80-\frac{840}{11}=\frac{880-840}{11}=\frac{40}{11}\approx3{,}64\ \text{см}, а поперечный катет остался равным 4 см. Прямой угол сохранился (один катет вдоль оси, другой поперёк), но равнобедренным треугольник быть перестал — вдоль оси изображение «сжалось».

Шаг 6 — площадь. S=\frac{1}{2}\cdot A'C'\cdot B'C'=\frac{1}{2}\cdot\frac{40}{11}\cdot4=\frac{80}{11}\approx7{,}3\ \text{см}^{2}.

Сверимся со здравым смыслом: площадь исходного треугольника \dfrac{1}{2}\cdot4\cdot4=8\ \text{см}^{2}, изображение чуть меньше — и так и должно быть. Поперёк оси увеличение около единицы (предмет ведь стоит почти в точке 2F), а вдоль оси изображение всегда «сплющивается» сильнее, когда предмет уходит дальше 2F.

Почему модель именно такая. Линза тонкая, лучи параксиальные, поэтому для каждой вершины справедлива формула тонкой линзы \dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}, а поперечный размер меняется по формуле увеличения \Gamma=\dfrac{f}{d}. Плоская фигура, лежащая в плоскости, проходящей через главную оптическую ось, изображается плоской же фигурой, причём отрезки прямых остаются отрезками прямых — поэтому законно строить изображение по трём вершинам. Для построения на рисунке используют стандартные лучи: параллельный оси идёт после линзы через задний фокус, а луч через оптический центр не преломляется; для точек, лежащих на оси, положение изображения даёт сама формула линзы.