Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00026569

Треугольник у нас маленький (катет всего $4$ см), а стоит он далеко — около точки $2F$. Катет $AC$ лежит на самой оси, вершина прямого угла $C$ ближе к линзе, вершина $A$ дальше, а второй катет $BC$ торчит вверх перпендикулярно оси. Строить изображение будем по вершинам: у тонкой линзы прямые переходят в прямые, поэтому достаточно найти изображения трёх точек и соединить их.

Шаг 1 — фокусное расстояние и расположение вершин. $F=\dfrac{1}{D}=\dfrac{1}{2{,}5}=0{,}4\ \text{м}=40$ см. Точка $C$ удалена от линзы на $2F=80$ см. Треугольник равнобедренный прямоугольный с прямым углом при $C$, значит катеты равны: $BC=AC=4$ см. Вершина $A$ дальше $C$ на длину катета: $d_{A}=80+4=84$ см. Вершина $B$ стоит прямо над $C$, поэтому её расстояние до линзы тоже $80$ см, а высота над осью — $4$ см.

Шаг 2 — изображение точки $C$. Это классический случай $d=2F$: $$f_{C}=\frac{d_{C}F}{d_{C}-F}=\frac{80\cdot40}{80-40}=80\ \text{см},$$ увеличение $\Gamma_{C}=\dfrac{f_{C}}{d_{C}}=1$. Точка $C$ лежит на оси, её изображение $C'$ — тоже на оси, в $80$ см за линзой.

Шаг 3 — изображение точки $B$. У неё то же расстояние до линзы, поэтому $f_{B}=80$ см и $\Gamma_{B}=1$, но изображение перевёрнутое: $B'$ окажется на $4$ см ниже оси, в том же сечении $80$ см. Значит, отрезок $B'C'$ по-прежнему перпендикулярен оси и имеет длину $4$ см.

Шаг 4 — изображение точки $A$. $$f_{A}=\frac{84\cdot40}{84-40}=\frac{3360}{44}=\frac{840}{11}\approx76{,}4\ \text{см}.$$ Она тоже на оси, но ближе к линзе, чем $C'$.

Шаг 5 — что за фигура получилась. Катет вдоль оси стал короче: $$A'C'=80-\frac{840}{11}=\frac{880-840}{11}=\frac{40}{11}\approx3{,}64\ \text{см},$$ а поперечный катет остался равным $4$ см. Прямой угол сохранился (один катет вдоль оси, другой поперёк), но равнобедренным треугольник быть перестал — вдоль оси изображение «сжалось».

Шаг 6 — площадь. $$S=\frac{1}{2}\cdot A'C'\cdot B'C'=\frac{1}{2}\cdot\frac{40}{11}\cdot4=\frac{80}{11}\approx7{,}3\ \text{см}^{2}.$$

Сверимся со здравым смыслом: площадь исходного треугольника $\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot4=8\ \text{см}^{2}$, изображение чуть меньше — и так и должно быть. Поперёк оси увеличение около единицы (предмет ведь стоит почти в точке $2F$), а вдоль оси изображение всегда «сплющивается» сильнее, когда предмет уходит дальше $2F$.

Почему модель именно такая. Линза тонкая, лучи параксиальные, поэтому для каждой вершины справедлива формула тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$, а поперечный размер меняется по формуле увеличения $\Gamma=\dfrac{f}{d}$. Плоская фигура, лежащая в плоскости, проходящей через главную оптическую ось, изображается плоской же фигурой, причём отрезки прямых остаются отрезками прямых — поэтому законно строить изображение по трём вершинам. Для построения на рисунке используют стандартные лучи: параллельный оси идёт после линзы через задний фокус, а луч через оптический центр не преломляется; для точек, лежащих на оси, положение изображения даёт сама формула линзы.