ID: 00026602
Линза, фокусное расстояние которой 15 см, даёт на экране резкое изображение предмета с пятикратным увеличением. Экран пододвинули к линзе вдоль её главной оптической оси на 30 см. Затем при неизменном положении линзы передвинули предмет так, чтобы изображение снова стало резким. На какое расстояние сдвинули предмет относительно его первоначального положения? Сделайте рисунок построения изображений в линзе с указанием хода лучей.
Источник: ФИПИ
Сюжет такой: собирающая линза с фокусным расстоянием $F=15$ см строит на экране резкое изображение предмета, увеличенное в $5$ раз. Потом экран придвигают к линзе на $30$ см — изображение, конечно, «расплывается». Линзу не трогают, а двигают предмет, пока картинка снова не станет резкой. Вопрос: насколько предмет уехал.
Шаг 1 — что значит «резкое изображение на экране». Это значит, что экран стоит ровно там, где линза собирает лучи, то есть расстояние от линзы до экрана равно расстоянию до изображения $f$. Работает формула тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$, где $d$ — расстояние от предмета до линзы. Изображение на экране действительное, поэтому оба расстояния положительные.
Шаг 2 — используем увеличение. Линейное увеличение линзы $\Gamma=\dfrac{f}{d}$. По условию $\Gamma=5$, значит $f_1=5d_1$.
Шаг 3 — находим первое положение. Подставим $f_1=5d_1$ в формулу линзы: $\dfrac{1}{d_1}+\dfrac{1}{5d_1}=\dfrac{1}{15}$. Слева приведём к общему знаменателю: $\dfrac{5+1}{5d_1}=\dfrac{6}{5d_1}=\dfrac{1}{15}$. Отсюда $5d_1=6\cdot15=90$, то есть $d_1=18$ см, а изображение стояло на расстоянии $f_1=5\cdot18=90$ см.
Шаг 4 — новое положение экрана. Экран пододвинули к линзе на $30$ см: $f_2=90-30=60$ см.
Шаг 5 — где теперь предмет. Снова формула линзы, но уже с новым $f_2$: $\dfrac{1}{d_2}=\dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{f_2}=\dfrac{1}{15}-\dfrac{1}{60}$. Общий знаменатель $60$: $\dfrac{4}{60}-\dfrac{1}{60}=\dfrac{3}{60}=\dfrac{1}{20}$. Значит $d_2=20$ см.
Шаг 6 — ответ на вопрос задачи. Предмет был на $18$ см от линзы, стал на $20$ см: $\Delta d=20-18=2$ см, и двигали его ОТ линзы.
Логика тут красивая и её стоит запомнить: чтобы изображение подъехало ближе к линзе, предмет надо отодвинуть подальше. Проверим заодно новое увеличение: $\Gamma_2=\dfrac{60}{20}=3$ — картинка стала меньше, чем была ($5$), что как раз и бывает, когда предмет отодвигают.
Как рисовать построение. Проведи главную оптическую ось, поставь линзу, отметь фокусы на расстоянии $15$ см по обе стороны. Предмет — стрелочка перпендикулярно оси на расстоянии $18$ см (это между $F$ и $2F$, потому изображение и получается увеличенным и действительным). От верхушки стрелки пусти два стандартных луча: первый параллельно оси — после линзы он идёт через задний фокус; второй через центр линзы — он не преломляется. Точка пересечения этих лучей и есть верхушка изображения, она окажется на расстоянии $90$ см, изображение перевёрнутое и увеличенное. Вторым рисунком повтори то же для $d_2=20$ см и получи изображение на $60$ см.
Обоснование модели. Линза тонкая, поэтому применима формула тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$ и формула линейного увеличения $\Gamma=\dfrac{f}{d}$; оба соотношения верны в параксиальном приближении, то есть для лучей, идущих близко к главной оптической оси и под малыми углами к ней. Знаки берём положительными, потому что линза собирающая, а изображение действительное — оно ловится на экран. Положение линзы не менялось, значит $F$ в обоих случаях одно и то же, и мы имеем право написать формулу линзы дважды с одним и тем же $F$.