ID: 00026575
На оси О x в точке $x_{1}$ = 10 см находится оптический центр тонкой рассеивающей линзы с фокусным расстоянием $F_{1}$ = –10 см, а в точке $x_{2}$ = 25 см – оптический центр тонкой собирающей линзы. Главные оптические оси обеих линз совпадают с осью Ох . Свет от точечного источника, расположенного в точке х = 0, пройдя данную оптическую систему, распространяется параллельным пучком. Найдите фокусное расстояние собирающей линзы $F_{2}$. Сделайте рисунок с указанием хода лучей через данную систему линз.
Источник: ФИПИ
Свет здесь проходит через две линзы подряд, и работать надо «по цепочке»: сначала первая линза строит изображение источника, потом это изображение становится предметом для второй линзы. Условие «после системы свет идёт параллельным пучком» — это подсказка про финал: параллельный пучок получается только тогда, когда предмет для собирающей линзы находится ровно в её переднем фокусе.
Шаг 1 — предмет для первой линзы. Источник стоит в точке $x=0$, рассеивающая линза — в точке $x_{1}=10$ см, значит расстояние от источника до неё $d_{1}=10$ см.
Шаг 2 — что построит рассеивающая линза. Формула тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$ работает и для рассеивающей, если подставить в неё отрицательное фокусное расстояние $F_{1}=-10$ см: $$\frac{1}{f_{1}}=\frac{1}{F_{1}}-\frac{1}{d_{1}}=-\frac{1}{10}-\frac{1}{10}=-\frac{1}{5}\quad\Rightarrow\quad f_{1}=-5\ \text{см}.$$ Минус означает, что изображение мнимое и лежит с той же стороны, что и источник, то есть слева от линзы, на расстоянии $5$ см от неё. Его координата: $$x_{изобр}=10-5=5\ \text{см}.$$ Физически это выглядит так: после рассеивающей линзы лучи расходятся, будто вышли из точки $x=5$ см.
Шаг 3 — предмет для второй линзы. Для собирающей линзы, стоящей в точке $x_{2}=25$ см, «источником» служит эта самая точка $x=5$ см. Расстояние до неё: $$d_{2}=25-5=20\ \text{см}.$$
Шаг 4 — условие параллельного пучка. Собирающая линза даёт параллельный пучок тогда, когда предмет находится в её переднем фокусе: изображение уходит на бесконечность. Формально: параллельный пучок означает $f_{2}\to\infty$, то есть $\dfrac{1}{f_{2}}=0$, и формула линзы даёт $$\frac{1}{d_{2}}=\frac{1}{F_{2}}\quad\Rightarrow\quad F_{2}=d_{2}=20\ \text{см}.$$
Проверим согласованность: передний фокус второй линзы тогда находится в точке $25-20=5$ см — ровно там, где «сидит» мнимое изображение от первой линзы. Всё сходится.
Почему модель именно такая. Обе линзы тонкие, лучи параксиальные, поэтому к каждой применима формула тонкой линзы $\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{F}$ с правилом знаков: у рассеивающей линзы $F\lt0$, а отрицательное $f$ отвечает мнимому изображению. Ключевой приём для системы линз — последовательный расчёт: изображение, построенное первой линзой (пусть даже мнимое), служит предметом для второй, потому что после первой линзы лучи идут так, будто выходят именно из этой точки. Условие «на выходе параллельный пучок» переводится в предельный случай $f_{2}=\infty$, что и означает нахождение предмета в переднем фокусе. Для рисунка удобно провести луч через оптический центр каждой линзы и луч, параллельный оси, — их пересечение и даёт изображение.