Задание ЕГЭ по физике: Квадратная рамка со стороной L равно 10 см подключена к…

Устройство на рисунке необычное: провода подходят к рамке не к углам, а к серединам левой и правой сторон — к точкам C и D. Ток I=2 А приходит по проводу в точку C, там разветвляется, обегает рамку двумя путями и снова собирается в точке D. Магнитное поле B=0{,}2 Тл направлено перпендикулярно плоскости рамки (на рисунке — от нас, крестиком). Нужна суммарная сила Ампера, действующая на рамку.

Шаг 1 — как делится ток. От C до D есть два пути: «через верх» и «через низ». Оба состоят из половинки левой стороны, целой горизонтальной стороны и половинки правой стороны, то есть имеют одинаковую длину. Сопротивление всех сторон одинаково, значит и сопротивления путей равны, а ток делится поровну: по \dfrac{I}{2}=1 А в каждой ветви.

Шаг 2 — приём, который экономит кучу времени. В однородном магнитном поле сила, действующая на изогнутый проводник с током, равна силе, которая действовала бы на ПРЯМОЙ отрезок, соединяющий его начало и конец: \vec F=I\vec L\times\vec B. Обе наши ветви начинаются в C и заканчиваются в D, значит для обеих замещающий отрезок — это один и тот же отрезок CD.

Шаг 3 — длина отрезка CD. Точки C и D — середины противоположных сторон квадрата, поэтому расстояние между ними равно стороне: CD=L=10\ \text{см}=0{,}1 м. Отрезок CD лежит в плоскости рамки, а поле перпендикулярно этой плоскости, значит угол между \vec L и \vec B прямой и синус равен единице.

Шаг 4 — складываем. Обе ветви дают силы одного направления, и множитель \vec L\times\vec B у них общий, поэтому силы просто складываются по токам: F=\left(\dfrac{I}{2}+\dfrac{I}{2}\right)BL=IBL.

Шаг 5 — считаем. F=2\cdot0{,}2\cdot0{,}1=0{,}04 Н. Сила лежит в плоскости рамки и направлена перпендикулярно линии CD (на рисунке — вверх или вниз, в зависимости от направления тока и поля).

Проверим «в лоб», по сторонам — полезно убедиться, что приём не обманул. Возьмём верхнюю ветвь (1 А). На половинке левой стороны сила направлена влево и равна 1\cdot0{,}2\cdot0{,}05=0{,}01 Н; на половинке правой стороны ток течёт в обратную сторону, поэтому сила такая же по величине, но направлена вправо — эти две силы гасят друг друга. Остаётся сила на верхней стороне: 1\cdot0{,}2\cdot0{,}1=0{,}02 Н, направленная перпендикулярно CD. Для нижней ветви всё симметрично: боковые вклады снова гасятся, а на нижней стороне получается 0{,}02 Н в ТУ ЖЕ сторону. Итого 0{,}02+0{,}02=0{,}04 Н — совпало с быстрым способом.

Обрати внимание, почему силы на верхней и нижней сторонах не гасят друг друга, хотя стороны противоположные: токи в них текут в одну и ту же сторону (обе ветви идут от C к D, то есть слева направо), а вот в половинках боковых сторон одной ветви токи встречные — потому там и происходит взаимное уничтожение.

Рисунок к решению: изобрази квадрат, подпиши C и D, стрелками покажи, как ток I делится на два по I/2; на каждой стороне нарисуй свою силу Ампера (на боковых половинках — противоположно направленные пары, на верхней и нижней — сонаправленные) и рядом — суммарную силу F=0{,}04 Н перпендикулярно CD.

Обоснование модели. Работают: правило деления тока между параллельными ветвями с равными сопротивлениями (следствие закона Ома и одинаковой длины путей — сопротивление однородной проволоки пропорционально длине); закон Ампера \vec F=I\vec L\times\vec B для прямого участка в однородном поле и его следствие о том, что результирующая сила на изогнутый провод зависит только от вектора, соединяющего его концы; принцип суперпозиции — полная сила равна векторной сумме сил, действующих на все участки. Поле однородно (это прямо сказано в условии) — без этого условия приём с замещающим отрезком был бы незаконен.