ID: 00026604
Металлический стержень, согнутый в виде буквы П, закреплён в горизонтальном положении (см. рисунок). На параллельные стороны стержня опирается концами перпендикулярная перемычка прямоугольного поперечного сечения массой 370 г и длиной 1 м. Сопротивление перемычки равно 0,025 Ом. Вся система находится в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл. Какую горизонтальную силу нужно приложить к перемычке, чтобы двигать её с постоянной скоростью 2 м/с, если коэффициент трения между стержнем и перемычкой равен 0,2? Сопротивлением стержня пренебречь. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на перемычку.
Источник: ФИПИ
Соберём картину. Есть П-образный проводник, лежащий горизонтально, — это «рельсы». Поперёк них лежит перемычка длиной l=1 м и массой m=370 г, она может ездить по рельсам. Вся конструкция стоит в вертикальном магнитном поле B=0{,}1 Тл (на рисунке мы смотрим сверху, и поле показано крестиками — оно уходит от нас вниз). Перемычку тянут вбок с постоянной скоростью \upsilon=2 м/с. Тянуть приходится сразу против двух «противников»: обычного сухого трения и магнитного торможения.
Шаг 1 — откуда берётся магнитное торможение. Перемычка движется поперёк линий поля и работает как источник: в ней возникает ЭДС индукции \mathcal{E}=B l\upsilon=0{,}1\cdot1\cdot2=0{,}2 В.
Шаг 2 — ток в контуре. Сопротивление есть только у перемычки, сопротивлением рельсов условие велит пренебречь. По закону Ома I=\dfrac{\mathcal{E}}{R}=\dfrac{0{,}2}{0{,}025}=8 А.
Шаг 3 — сила Ампера. На проводник с током в магнитном поле действует сила F_A=BIl (ток течёт вдоль перемычки, поле перпендикулярно ей, поэтому синус угла равен единице): F_A=0{,}1\cdot8\cdot1=0{,}8 Н. По правилу Ленца индукционный ток всегда «мешает» причине, его породившей, поэтому эта сила направлена против движения — она тормозит перемычку.
Шаг 4 — сила трения. Поле вертикальное, а сила Ампера получается горизонтальной, поэтому на прижим перемычки к рельсам магнитное поле не влияет вовсе. Значит, перемычку прижимает только её собственный вес: N=mg=0{,}37\cdot10=3{,}7 Н. Сила трения скольжения F_{тр}=\mu N=0{,}2\cdot3{,}7=0{,}74 Н, направлена против движения.
Шаг 5 — второй закон Ньютона. Скорость постоянна, значит ускорение равно нулю и сумма всех сил тоже равна нулю. В проекции на направление движения: F-F_A-F_{тр}=0, откуда F=F_A+F_{тр}=0{,}8+0{,}74=1{,}54 Н.
Обратим внимание на устройство ответа: примерно половина усилия уходит на трение, половина — на «плату» за выработку электричества. Кстати, магнитная часть работает как генератор: мощность F_A\upsilon=0{,}8\cdot2=1{,}6 Вт в точности равна тепловой мощности в перемычке I^2R=64\cdot0{,}025=1{,}6 Вт. Энергия сходится.
Рисунок к решению: на перемычке (вид сверху и вид сбоку) покажи приложенную силу \vec F по направлению движения, силу Ампера \vec F_A и силу трения \vec F_{тр} — обе против движения, а на виде сбоку — силу тяжести m\vec g вниз и силу нормальной реакции \vec N вверх.
Обоснование модели. Применяются: закон электромагнитной индукции в форме ЭДС для прямого проводника, движущегося поперёк однородного поля, \mathcal{E}=Bl\upsilon (проводник перпендикулярен и полю, и скорости — иначе появились бы синусы углов); закон Ома для замкнутой цепи, сведённый к I=\mathcal{E}/R, так как сопротивление рельсов пренебрежимо мало; закон Ампера F_A=BIl; закон сухого трения F_{тр}=\mu N; второй закон Ньютона при нулевом ускорении, то есть условие равновесия сил. Самоиндукцию контура не учитываем: ток постоянный, потому что скорость постоянна.