Задание ЕГЭ по физике: Кольцо диаметром D равно 11 см из тонкой медной проволоки и…

На рисунке — проволочное кольцо диаметром D=11 см, к которому подключён конденсатор ёмкостью C=2{,}5 мкФ, а сквозь кольцо «прошивает» магнитное поле вдоль его оси (крестик у вектора \vec B означает, что поле направлено от нас, перпендикулярно плоскости кольца). Поле не постоянное: оно равномерно нарастает со скоростью \dfrac{\Delta B}{\Delta t}=2 Тл/с. Меняющееся поле рождает в кольце ЭДС индукции, а та заряжает конденсатор.

Шаг 1 — поток через кольцо. Магнитный поток равен \Phi=BS\cos\alpha. Вектор индукции направлен вдоль оси кольца, то есть перпендикулярно его плоскости, поэтому \cos\alpha=1 и просто \Phi=BS. Площадь круга через диаметр: S=\dfrac{\pi D^2}{4}.

Шаг 2 — считаем площадь. D=11\ \text{см}=0{,}11 м, значит S=\dfrac{3{,}14\cdot0{,}11^2}{4}=\dfrac{3{,}14\cdot0{,}0121}{4}\approx9{,}5\cdot10^{-3}\ \text{м}^2.

Шаг 3 — ЭДС индукции. По закону электромагнитной индукции Фарадея модуль ЭДС равен скорости изменения потока: \mathcal{E}=\left|\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right|. Площадь кольца не меняется, меняется только поле, поэтому \Delta\Phi=S\,\Delta B и \mathcal{E}=S\dfrac{\Delta B}{\Delta t}=9{,}5\cdot10^{-3}\cdot2=1{,}9\cdot10^{-2} В, то есть 19 мВ.

Шаг 4 — какое напряжение достанется конденсатору. Через некоторое время конденсатор зарядится и ток в цепи прекратится (постоянный ток через конденсатор не идёт). Раз тока нет, то на сопротивлении медной проволоки ничего не падает, и всё напряжение источника — то есть вся ЭДС индукции — оказывается приложенным к обкладкам: U=\mathcal{E}=1{,}9\cdot10^{-2} В.

Шаг 5 — заряд. По определению электроёмкости q=CU=2{,}5\cdot10^{-6}\cdot1{,}9\cdot10^{-2}=4{,}75\cdot10^{-8} Кл, то есть около 47{,}5 нКл.

Итоговая формула одной строкой: q=C\dfrac{\pi D^2}{4}\cdot\dfrac{\Delta B}{\Delta t} — полезно записать её и подставлять числа уже в неё, так меньше шансов ошибиться.

Обоснование модели. Работают: определение магнитного потока \Phi=BS\cos\alpha (поле однородное в пределах кольца, иначе поток так просто не считался бы); закон электромагнитной индукции Фарадея \mathcal{E}=|\Delta\Phi/\Delta t| — именно он превращает «скорость изменения поля» в ЭДС; определение электроёмкости q=CU. Ключевое допущение — установившийся режим: пока конденсатор заряжается, ток идёт и часть ЭДС падает на сопротивлении проволоки, но нас спрашивают про конечный заряд, когда ток уже прекратился и напряжение на конденсаторе сравнялось с ЭДС. Поэтому сопротивление проволоки в ответ и не входит — его в условии и не дали.