Э/М Индукция — Задание 25 ЕГЭ по физике №00026603

На рисунке — проволочное кольцо диаметром $D=11$ см, к которому подключён конденсатор ёмкостью $C=2{,}5$ мкФ, а сквозь кольцо «прошивает» магнитное поле вдоль его оси (крестик у вектора $\vec B$ означает, что поле направлено от нас, перпендикулярно плоскости кольца). Поле не постоянное: оно равномерно нарастает со скоростью $\dfrac{\Delta B}{\Delta t}=2$ Тл/с. Меняющееся поле рождает в кольце ЭДС индукции, а та заряжает конденсатор.

Шаг 1 — поток через кольцо. Магнитный поток равен $\Phi=BS\cos\alpha$. Вектор индукции направлен вдоль оси кольца, то есть перпендикулярно его плоскости, поэтому $\cos\alpha=1$ и просто $\Phi=BS$. Площадь круга через диаметр: $S=\dfrac{\pi D^2}{4}$.

Шаг 2 — считаем площадь. $D=11\ \text{см}=0{,}11$ м, значит $S=\dfrac{3{,}14\cdot0{,}11^2}{4}=\dfrac{3{,}14\cdot0{,}0121}{4}\approx9{,}5\cdot10^{-3}\ \text{м}^2$.

Шаг 3 — ЭДС индукции. По закону электромагнитной индукции Фарадея модуль ЭДС равен скорости изменения потока: $\mathcal{E}=\left|\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right|$. Площадь кольца не меняется, меняется только поле, поэтому $\Delta\Phi=S\,\Delta B$ и $\mathcal{E}=S\dfrac{\Delta B}{\Delta t}=9{,}5\cdot10^{-3}\cdot2=1{,}9\cdot10^{-2}$ В, то есть $19$ мВ.

Шаг 4 — какое напряжение достанется конденсатору. Через некоторое время конденсатор зарядится и ток в цепи прекратится (постоянный ток через конденсатор не идёт). Раз тока нет, то на сопротивлении медной проволоки ничего не падает, и всё напряжение источника — то есть вся ЭДС индукции — оказывается приложенным к обкладкам: $U=\mathcal{E}=1{,}9\cdot10^{-2}$ В.

Шаг 5 — заряд. По определению электроёмкости $q=CU=2{,}5\cdot10^{-6}\cdot1{,}9\cdot10^{-2}=4{,}75\cdot10^{-8}$ Кл, то есть около $47{,}5$ нКл.

Итоговая формула одной строкой: $q=C\dfrac{\pi D^2}{4}\cdot\dfrac{\Delta B}{\Delta t}$ — полезно записать её и подставлять числа уже в неё, так меньше шансов ошибиться.

Обоснование модели. Работают: определение магнитного потока $\Phi=BS\cos\alpha$ (поле однородное в пределах кольца, иначе поток так просто не считался бы); закон электромагнитной индукции Фарадея $\mathcal{E}=|\Delta\Phi/\Delta t|$ — именно он превращает «скорость изменения поля» в ЭДС; определение электроёмкости $q=CU$. Ключевое допущение — установившийся режим: пока конденсатор заряжается, ток идёт и часть ЭДС падает на сопротивлении проволоки, но нас спрашивают про конечный заряд, когда ток уже прекратился и напряжение на конденсаторе сравнялось с ЭДС. Поэтому сопротивление проволоки в ответ и не входит — его в условии и не дали.