ID: 00026584
Тонкий алюминиевый брусок прямоугольного сечения, имеющий длину L = 0,5 м, соскальзывает из состояния покоя по гладкой наклонной плоскости из диэлектрика в вертикальном однородном магнитном поле индукцией В (см. рисунок). Плоскость наклонена к горизонту под углом α = 30°. Продольная ось бруска при движении сохраняет горизонтальное направление. В момент, когда брусок пройдёт по наклонной плоскости расстояние l = 1,6 м, величина ЭДС индукции на концах бруска $ℰ=0,17$ В. Найдите величину индукции магнитного поля В .
Источник: ФИПИ
Брусок съезжает по гладкой наклонной плоскости, а вокруг — вертикальное магнитное поле. Раз брусок проводящий и движется поперёк линий поля, на его концах возникает ЭДС индукции. Значение этой ЭДС нам дали для момента, когда пройдено $l=1{,}6$ м. Значит, задача распадается на две части: механика (какая к этому моменту скорость) и электродинамика (как скорость связана с ЭДС).
Шаг 1 — механика скольжения. Плоскость гладкая, брусок скользит без трения, а цепи нет — ток не течёт, поэтому и тормозящей силы Ампера нет. Вдоль наклонной плоскости действует только составляющая силы тяжести, и по второму закону Ньютона ускорение постоянно: $$a=g\sin\alpha=10\cdot\sin30^{\circ}=10\cdot0{,}5=5\ \text{м/с}^{2}.$$
Шаг 2 — скорость после пути $l$. Движение равноускоренное из состояния покоя, значит $\upsilon^{2}=2al$: $$\upsilon=\sqrt{2al}=\sqrt{2\cdot5\cdot1{,}6}=\sqrt{16}=4\ \text{м/с}.$$ Эта скорость направлена вдоль наклонной плоскости, вниз по склону.
Шаг 3 — какая часть скорости «работает». Поле вертикально, а скорость наклонена к горизонту на угол $\alpha$. Вертикальная составляющая скорости параллельна полю и в возникновении ЭДС не участвует — ЭДС создаёт только горизонтальная составляющая: $$\upsilon_{г}=\upsilon\cos\alpha.$$ Продольная ось бруска при движении остаётся горизонтальной и перпендикулярной этой составляющей, поэтому в формулу для ЭДС всё входит «под прямым углом».
Шаг 4 — ЭДС индукции. Для прямого проводника длиной $L$: $$\mathcal{E}=BL\upsilon\cos\alpha.$$
Шаг 5 — выражаем индукцию и считаем. $$B=\frac{\mathcal{E}}{L\upsilon\cos\alpha}=\frac{0{,}17}{0{,}5\cdot4\cdot\cos30^{\circ}}=\frac{0{,}17}{2\cdot0{,}866}=\frac{0{,}17}{1{,}732}\approx0{,}098\ \text{Тл}.$$ То есть примерно $0{,}1$ Тл.
Проверим обратным ходом: при $B=0{,}098$ Тл и $\upsilon=4$ м/с получаем $\mathcal{E}=0{,}098\cdot0{,}5\cdot4\cdot0{,}866\approx0{,}17$ В — сходится с условием. И порядок величины разумный: десятая доля тесла — это поле сильного лабораторного магнита.
Почему модель именно такая. Механическая часть опирается на второй закон Ньютона для тела на гладкой наклонной плоскости: единственная сила вдоль движения — проекция силы тяжести $mg\sin\alpha$, поэтому ускорение постоянно и применима кинематическая формула $\upsilon^{2}=2al$ для разгона из покоя. Электродинамическая часть — частный случай закона электромагнитной индукции Фарадея для прямого проводника: $\mathcal{E}=BL\upsilon_{\perp}$, где $\upsilon_{\perp}$ — составляющая скорости, перпендикулярная вектору индукции, а сам проводник перпендикулярен и полю, и этой составляющей. Именно поэтому появляется множитель $\cos\alpha$: вертикальная часть скорости идёт вдоль поля и вклада не даёт. Тормозящей силы Ампера нет, потому что цепь разомкнута и тока по бруску не течёт — это и позволяет считать скольжение свободным.