Задание ЕГЭ по физике: Прямоугольная проводящая рамка, по которой течёт постоянный ток…

Хитрость этой задачи в том, что она склеена из двух разных сюжетов. Сначала по рамке идёт ток, и магнитное поле пытается её развернуть — отсюда известен момент сил. Потом ток выключают и рамку крутят руками, а поле в ответ гонит по ней индукционный ток — отсюда берётся заряд. Связкой между двумя частями служит произведение BS: из первой части мы его вытащим, во вторую подставим.

Шаг 1 — момент сил, действующих на рамку с током. На рисунке видно: вектор \vec B лежит в плоскости рамки и направлен перпендикулярно её вертикальным сторонам. На горизонтальные стороны сила Ампера не действует вовсе — ток в них течёт вдоль поля. А вот на вертикальные стороны силы действуют, причём в противоположные стороны (токи в них встречные): одна сторона выталкивается «на нас», другая «от нас». Такая пара сил и разворачивает рамку вокруг оси OO_1.

Шаг 2 — формула момента. Для плоского контура с током в однородном поле момент равен M=BIS\sin\beta, где \beta — угол между вектором \vec B и нормалью к рамке, а S — площадь рамки. Здесь \vec B лежит В плоскости рамки, то есть перпендикулярен нормали, \beta=90^\circ и \sin\beta=1. Значит, просто M=BIS — и это как раз положение максимального момента.

Шаг 3 — вытаскиваем BS. Из M=BIS следует BS=\dfrac{M}{I}=\dfrac{1{,}5}{0{,}5}=3\ \text{Тл}\cdot\text{м}^2. Заметь: ни B, ни S по отдельности мы не знаем и знать не обязаны — в ответ войдёт именно их произведение.

Шаг 4 — переходим к повороту. Ток отключили, рамку поворачивают на 180^\circ вокруг оси OO_1. Магнитный поток через рамку \Phi=BS\cos\beta меняется, а по закону электромагнитной индукции меняющийся поток гонит по рамке заряд: за любой промежуток времени q=\dfrac{|\Delta\Phi|}{R} (это следствие закона Фарадея и закона Ома: q=\sum I\Delta t=\sum\dfrac{\mathcal{E}}{R}\Delta t=\dfrac{|\Delta\Phi|}{R}).

Шаг 5 — как меняется поток при повороте. В начальном положении поле лежит в плоскости рамки, поэтому поток через неё нулевой. Поворачиваем: через четверть оборота (90^\circ) рамка встаёт поперёк поля, и поток становится максимальным, \Phi_{max}=BS=3 Вб. Ещё четверть оборота — и рамка снова «ребром» к полю, поток опять ноль. То есть за поворот на 180^\circ поток сначала вырастает от 0 до BS, а потом убывает от BS до 0.

Шаг 6 — считаем заряд по частям. На первой половине поворота |\Delta\Phi_1|=BS, и по рамке проходит заряд q_1=\dfrac{BS}{R}=\dfrac{3}{10}=0{,}3 Кл. На второй половине поток убывает на столько же, и проходит ещё q_2=\dfrac{BS}{R}=0{,}3 Кл — только уже в обратную сторону (правило Ленца: сначала ток мешает потоку расти, потом мешает ему убывать).

Шаг 7 — суммарный заряд. Всего по рамке протечёт q=q_1+q_2=\dfrac{2BS}{R}=\dfrac{2\cdot3}{10}=0{,}6 Кл.

Полезно проговорить итоговую формулу целиком: q=\dfrac{2BS}{R}=\dfrac{2M}{IR}=\dfrac{2\cdot1{,}5}{0{,}5\cdot10}=0{,}6 Кл. Видно, что ни площадь, ни индукция по отдельности не нужны — задача специально устроена так, чтобы они сократились.

Обоснование модели. Поле однородно, рамка плоская и жёсткая, поэтому применимы: выражение для вращающего момента, действующего на контур с током в однородном магнитном поле, M=BIS\sin\beta (оно, в свою очередь, выводится из закона Ампера для двух вертикальных сторон рамки); определение магнитного потока \Phi=BS\cos\beta; закон электромагнитной индукции Фарадея вместе с законом Ома для замкнутой цепи, из которых следует формула протёкшего заряда q=\dfrac{|\Delta\Phi|}{R} — она удобна тем, что не требует знать, как именно по времени шёл поворот: важны только начальное и конечное значения потока на каждом участке. Ток при повороте отключён, поэтому никаких дополнительных сил Ампера, кроме индукционных эффектов, учитывать не нужно.