Э/М Индукция — Задание 25 ЕГЭ по физике №00026613

Хитрость этой задачи в том, что она склеена из двух разных сюжетов. Сначала по рамке идёт ток, и магнитное поле пытается её развернуть — отсюда известен момент сил. Потом ток выключают и рамку крутят руками, а поле в ответ гонит по ней индукционный ток — отсюда берётся заряд. Связкой между двумя частями служит произведение $BS$: из первой части мы его вытащим, во вторую подставим.

Шаг 1 — момент сил, действующих на рамку с током. На рисунке видно: вектор $\vec B$ лежит в плоскости рамки и направлен перпендикулярно её вертикальным сторонам. На горизонтальные стороны сила Ампера не действует вовсе — ток в них течёт вдоль поля. А вот на вертикальные стороны силы действуют, причём в противоположные стороны (токи в них встречные): одна сторона выталкивается «на нас», другая «от нас». Такая пара сил и разворачивает рамку вокруг оси $OO_1$.

Шаг 2 — формула момента. Для плоского контура с током в однородном поле момент равен $M=BIS\sin\beta$, где $\beta$ — угол между вектором $\vec B$ и нормалью к рамке, а $S$ — площадь рамки. Здесь $\vec B$ лежит В плоскости рамки, то есть перпендикулярен нормали, $\beta=90^\circ$ и $\sin\beta=1$. Значит, просто $M=BIS$ — и это как раз положение максимального момента.

Шаг 3 — вытаскиваем $BS$. Из $M=BIS$ следует $BS=\dfrac{M}{I}=\dfrac{1{,}5}{0{,}5}=3\ \text{Тл}\cdot\text{м}^2$. Заметь: ни $B$, ни $S$ по отдельности мы не знаем и знать не обязаны — в ответ войдёт именно их произведение.

Шаг 4 — переходим к повороту. Ток отключили, рамку поворачивают на $180^\circ$ вокруг оси $OO_1$. Магнитный поток через рамку $\Phi=BS\cos\beta$ меняется, а по закону электромагнитной индукции меняющийся поток гонит по рамке заряд: за любой промежуток времени $q=\dfrac{|\Delta\Phi|}{R}$ (это следствие закона Фарадея и закона Ома: $q=\sum I\Delta t=\sum\dfrac{\mathcal{E}}{R}\Delta t=\dfrac{|\Delta\Phi|}{R}$).

Шаг 5 — как меняется поток при повороте. В начальном положении поле лежит в плоскости рамки, поэтому поток через неё нулевой. Поворачиваем: через четверть оборота ($90^\circ$) рамка встаёт поперёк поля, и поток становится максимальным, $\Phi_{max}=BS=3$ Вб. Ещё четверть оборота — и рамка снова «ребром» к полю, поток опять ноль. То есть за поворот на $180^\circ$ поток сначала вырастает от $0$ до $BS$, а потом убывает от $BS$ до $0$.

Шаг 6 — считаем заряд по частям. На первой половине поворота $|\Delta\Phi_1|=BS$, и по рамке проходит заряд $q_1=\dfrac{BS}{R}=\dfrac{3}{10}=0{,}3$ Кл. На второй половине поток убывает на столько же, и проходит ещё $q_2=\dfrac{BS}{R}=0{,}3$ Кл — только уже в обратную сторону (правило Ленца: сначала ток мешает потоку расти, потом мешает ему убывать).

Шаг 7 — суммарный заряд. Всего по рамке протечёт $q=q_1+q_2=\dfrac{2BS}{R}=\dfrac{2\cdot3}{10}=0{,}6$ Кл.

Полезно проговорить итоговую формулу целиком: $q=\dfrac{2BS}{R}=\dfrac{2M}{IR}=\dfrac{2\cdot1{,}5}{0{,}5\cdot10}=0{,}6$ Кл. Видно, что ни площадь, ни индукция по отдельности не нужны — задача специально устроена так, чтобы они сократились.

Обоснование модели. Поле однородно, рамка плоская и жёсткая, поэтому применимы: выражение для вращающего момента, действующего на контур с током в однородном магнитном поле, $M=BIS\sin\beta$ (оно, в свою очередь, выводится из закона Ампера для двух вертикальных сторон рамки); определение магнитного потока $\Phi=BS\cos\beta$; закон электромагнитной индукции Фарадея вместе с законом Ома для замкнутой цепи, из которых следует формула протёкшего заряда $q=\dfrac{|\Delta\Phi|}{R}$ — она удобна тем, что не требует знать, как именно по времени шёл поворот: важны только начальное и конечное значения потока на каждом участке. Ток при повороте отключён, поэтому никаких дополнительных сил Ампера, кроме индукционных эффектов, учитывать не нужно.