Задание ЕГЭ по физике: Горизонтальный проводник длиной l равно 10 см и массой m равно…

Картина такая: две вертикальные шины, по ним без трения скользит вниз горизонтальный проводник массой m=25 г и длиной l=10 см. Магнитное поле горизонтально и перпендикулярно проводнику (на рисунке показано крестиком — направлено от нас). Внизу шины замкнуты резистором R, а параллельно резистору висит конденсатор C=20 мкФ. Проводник падает, но не разгоняется — он едет РАВНОМЕРНО. Значит, магнитное торможение в точности уравновесило силу тяжести.

Шаг 1 — что даёт заряд конденсатора. Конденсатор подключён параллельно резистору, поэтому напряжение на них одинаковое. Из определения электроёмкости: U=\dfrac{q}{C}=\dfrac{1\cdot10^{-6}}{20\cdot10^{-6}}=0{,}05 В. Вот и первая найденная величина.

Шаг 2 — течёт ли ток через конденсатор. Скорость постоянна, значит ЭДС постоянна, значит и напряжение на конденсаторе постоянно, а раз заряд не меняется — ток через конденсатор равен нулю. Весь ток идёт через резистор. Конденсатор здесь работает исключительно как «измеритель напряжения».

Шаг 3 — сила, которая держит проводник. Проводник скользит равномерно, значит по второму закону Ньютона сумма сил равна нулю. Трения нет, поэтому вниз тянет только сила тяжести mg, а вверх — сила Ампера F_A=BIl (по правилу Ленца индукционный ток всегда тормозит движение, породившее его). Условие: BIl=mg.

Шаг 4 — находим ток. I=\dfrac{mg}{Bl}=\dfrac{0{,}025\cdot10}{0{,}5\cdot0{,}1}=\dfrac{0{,}25}{0{,}05}=5 А.

Шаг 5 — сопротивление резистора. Через резистор идёт весь этот ток при напряжении 0{,}05 В, поэтому по закону Ома для участка цепи R=\dfrac{U}{I}=\dfrac{0{,}05}{5}=0{,}01 Ом.

Соберём формулу целиком: R=\dfrac{U}{I}=\dfrac{q/C}{mg/(Bl)}=\dfrac{qBl}{Cmg}. Проверим: \dfrac{10^{-6}\cdot0{,}5\cdot0{,}1}{20\cdot10^{-6}\cdot0{,}025\cdot10}=\dfrac{5\cdot10^{-8}}{5\cdot10^{-6}}=0{,}01 Ом. Сходится.

Полезная проверка себя: раз U=Bl\upsilon (сопротивлением проводника и шин пренебрегаем, поэтому всё напряжение ЭДС достаётся резистору), то скорость падения равна \upsilon=\dfrac{U}{Bl}=\dfrac{0{,}05}{0{,}05}=1 м/с. Разумная скорость, и заодно видно, что механическая мощность mg\upsilon=0{,}25\cdot1=0{,}25 Вт в точности равна тепловой I^2R=25\cdot0{,}01=0{,}25 Вт. Энергия сходится.

Обоснование модели. Работают: ЭДС индукции в прямом проводнике, движущемся поперёк однородного поля, \mathcal{E}=Bl\upsilon; закон Ома для участка цепи U=IR (сопротивление проводника и шин по условию пренебрежимо мало, поэтому U=\mathcal{E}); закон Ампера F_A=BIl с правилом Ленца, задающим направление силы; второй закон Ньютона при нулевом ускорении; определение электроёмкости q=CU. Ключевое допущение — установившийся равномерный режим: только он позволяет утверждать, что ток через конденсатор нулевой и что весь ток идёт через резистор.