ID: 00026588
Круговой виток провода радиусом r = 10 см, расположенный в однородном магнитном поле перпендикулярно его вектору индукции \overset{\to}{B} , растянули вдоль диаметра так, что он превратился в прямой проводник. При этом через виток прошёл заряд q = 5 мКл. Отношение сопротивления проводника к его длине ρ _{l} = 0,1 Ом/м. Определите величину индукции магнитного поля.
Источник: ФИПИ
Круглый виток лежит поперёк магнитного поля, и сквозь него идёт какой-то магнитный поток. Виток резко растягивают вдоль диаметра, пока он не превратится в прямой (сложенный вдвое) проводник — площадь, охватываемая витком, при этом становится нулевой, и поток исчезает. Пока поток меняется, в витке течёт индукционный ток, и суммарный заряд, протёкший по проводу, нам как раз и дали. По нему и восстановим индукцию поля.
Шаг 1 — при чём тут заряд. По закону электромагнитной индукции Фарадея сила тока в витке I=\dfrac{\left|\Delta\Phi\right|}{R\,\Delta t}, а протёкший заряд q=I\,\Delta t. Умножая одно на другое, время сокращается: q=\frac{\left|\Delta\Phi\right|}{R}. Замечательное свойство: заряд зависит только от изменения потока и сопротивления, но не от того, быстро или медленно растягивали виток.
Шаг 2 — изменение потока. Магнитный поток через плоский виток площадью A, расположенный перпендикулярно вектору индукции, равен \Phi=BA. Сначала A_{1}=\pi r^{2}, в конце виток вытянут в прямую линию, охватываемая площадь равна нулю: A_{2}=0. Значит, \left|\Delta\Phi\right|=B\pi r^{2}.
Шаг 3 — сопротивление витка. Длина провода при растягивании не меняется — это по-прежнему та же проволока длиной, равной длине окружности: L=2\pi r. Сопротивление через данное отношение «сопротивление на единицу длины»: R=\rho_{l}L=\rho_{l}\cdot2\pi r.
Шаг 4 — собираем формулу. q=\frac{B\pi r^{2}}{\rho_{l}\cdot2\pi r}=\frac{Br}{2\rho_{l}}\quad\Rightarrow\quad B=\frac{2q\rho_{l}}{r}. Обрати внимание, как красиво ушло число \pi: оно было и в площади, и в длине окружности.
Шаг 5 — считаем. q=5\ \text{мКл}=5\cdot10^{-3} Кл, \rho_{l}=0{,}1 Ом/м, r=10\ \text{см}=0{,}1 м: B=\frac{2\cdot5\cdot10^{-3}\cdot0{,}1}{0{,}1}=\frac{10^{-3}}{0{,}1}=0{,}01\ \text{Тл}.
Проверим порядок величин: сопротивление витка R=0{,}1\cdot2\pi\cdot0{,}1\approx0{,}063 Ом, изменение потока B\pi r^{2}=0{,}01\cdot\pi\cdot0{,}01\approx3{,}14\cdot10^{-4} Вб, и их отношение даёт \approx5\cdot10^{-3} Кл — ровно те самые 5 мКл. Всё сходится.
Почему модель именно такая. В основе — закон электромагнитной индукции Фарадея \mathcal{E}=\left|\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right| вместе с законом Ома для замкнутого витка и определением силы тока q=I\Delta t; их комбинация и даёт «формулу заряда» q=\dfrac{\left|\Delta\Phi\right|}{R}, не требующую знать скорость деформации. Поток считается как \Phi=BA, потому что поле однородно, а плоскость витка перпендикулярна вектору индукции. Наконец, сопротивление находится из зависимости сопротивления однородного проводника от его длины: провод при деформации не растягивается и не рвётся, поэтому его длина (а значит, и сопротивление контура) остаётся прежней — меняется только охватываемая площадь.