Э/М Индукция — Задание 25 ЕГЭ по физике №00026588

Круглый виток лежит поперёк магнитного поля, и сквозь него идёт какой-то магнитный поток. Виток резко растягивают вдоль диаметра, пока он не превратится в прямой (сложенный вдвое) проводник — площадь, охватываемая витком, при этом становится нулевой, и поток исчезает. Пока поток меняется, в витке течёт индукционный ток, и суммарный заряд, протёкший по проводу, нам как раз и дали. По нему и восстановим индукцию поля.

Шаг 1 — при чём тут заряд. По закону электромагнитной индукции Фарадея сила тока в витке $I=\dfrac{\left|\Delta\Phi\right|}{R\,\Delta t}$, а протёкший заряд $q=I\,\Delta t$. Умножая одно на другое, время сокращается: $$q=\frac{\left|\Delta\Phi\right|}{R}.$$ Замечательное свойство: заряд зависит только от изменения потока и сопротивления, но не от того, быстро или медленно растягивали виток.

Шаг 2 — изменение потока. Магнитный поток через плоский виток площадью $A$, расположенный перпендикулярно вектору индукции, равен $\Phi=BA$. Сначала $A_{1}=\pi r^{2}$, в конце виток вытянут в прямую линию, охватываемая площадь равна нулю: $A_{2}=0$. Значит, $$\left|\Delta\Phi\right|=B\pi r^{2}.$$

Шаг 3 — сопротивление витка. Длина провода при растягивании не меняется — это по-прежнему та же проволока длиной, равной длине окружности: $$L=2\pi r.$$ Сопротивление через данное отношение «сопротивление на единицу длины»: $$R=\rho_{l}L=\rho_{l}\cdot2\pi r.$$

Шаг 4 — собираем формулу. $$q=\frac{B\pi r^{2}}{\rho_{l}\cdot2\pi r}=\frac{Br}{2\rho_{l}}\quad\Rightarrow\quad B=\frac{2q\rho_{l}}{r}.$$ Обрати внимание, как красиво ушло число $\pi$: оно было и в площади, и в длине окружности.

Шаг 5 — считаем. $q=5\ \text{мКл}=5\cdot10^{-3}$ Кл, $\rho_{l}=0{,}1$ Ом/м, $r=10\ \text{см}=0{,}1$ м: $$B=\frac{2\cdot5\cdot10^{-3}\cdot0{,}1}{0{,}1}=\frac{10^{-3}}{0{,}1}=0{,}01\ \text{Тл}.$$

Проверим порядок величин: сопротивление витка $R=0{,}1\cdot2\pi\cdot0{,}1\approx0{,}063$ Ом, изменение потока $B\pi r^{2}=0{,}01\cdot\pi\cdot0{,}01\approx3{,}14\cdot10^{-4}$ Вб, и их отношение даёт $\approx5\cdot10^{-3}$ Кл — ровно те самые $5$ мКл. Всё сходится.

Почему модель именно такая. В основе — закон электромагнитной индукции Фарадея $\mathcal{E}=\left|\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right|$ вместе с законом Ома для замкнутого витка и определением силы тока $q=I\Delta t$; их комбинация и даёт «формулу заряда» $q=\dfrac{\left|\Delta\Phi\right|}{R}$, не требующую знать скорость деформации. Поток считается как $\Phi=BA$, потому что поле однородно, а плоскость витка перпендикулярна вектору индукции. Наконец, сопротивление находится из зависимости сопротивления однородного проводника от его длины: провод при деформации не растягивается и не рвётся, поэтому его длина (а значит, и сопротивление контура) остаётся прежней — меняется только охватываемая площадь.