ID: 00026581
На горизонтальном столе лежат два параллельных друг другу рельса: a и b , замкнутых двумя одинаковыми металлическими проводниками: AC и ED (см. рисунок). Вся система проводников находится в однородном магнитном поле, направленном вертикально вниз. Модуль индукции магнитного поля равен В , расстояние между рельсами l , скорости проводников $\upsilon _{1}$ и $\upsilon _{2}$, сопротивление каждого из проводников R . Какова сила тока в цепи? Сопротивлением рельсов пренебречь.
Источник: ФИПИ
Два проводника скользят по рельсам в разные стороны: $AC$ уезжает влево, $ED$ — вправо. Каждый из них, пересекая линии магнитного поля, работает как маленькая батарейка. Вопрос в том, складываются эти «батарейки» или вычитаются, и какое полное сопротивление у получившейся цепи.
Шаг 1 — ЭДС каждого проводника. Для прямого проводника длиной $l$, который движется со скоростью $\upsilon$ перпендикулярно самому себе и перпендикулярно однородному полю $\vec{B}$, ЭДС индукции равна $\mathcal{E}=Bl\upsilon$. Здесь поле вертикально, проводники горизонтальны и движутся горизонтально поперёк себя, так что условие перпендикулярности выполнено: $$\mathcal{E}_{1}=Bl\upsilon_{1},\qquad\mathcal{E}_{2}=Bl\upsilon_{2}.$$
Шаг 2 — складываются или вычитаются. Посмотрим на площадь контура $ACDE$, заключённого между проводниками. Проводники разъезжаются, значит эта площадь растёт, и вместе с ней растёт магнитный поток сквозь контур. Скорость увеличения расстояния между проводниками равна $\upsilon_{1}+\upsilon_{2}$, поэтому по закону Фарадея $$\mathcal{E}=\left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right|=Bl\left(\upsilon_{1}+\upsilon_{2}\right)=\mathcal{E}_{1}+\mathcal{E}_{2}.$$ То есть ЭДС именно складываются. (Если бы проводники ехали в одну сторону, расстояние между ними менялось бы со скоростью $\left|\upsilon_{1}-\upsilon_{2}\right|$, и ЭДС вычитались бы.)
Шаг 3 — сопротивление цепи. Ток идёт по замкнутому пути: по проводнику $AC$, по рельсу, по проводнику $ED$, обратно по другому рельсу. Сопротивлением рельсов пренебрегаем, значит в контуре последовательно включены два одинаковых сопротивления: $$R_{общ}=R+R=2R.$$
Шаг 4 — ток. По закону Ома для полной цепи: $$I=\frac{\mathcal{E}}{R_{общ}}=\frac{Bl\left(\upsilon_{1}+\upsilon_{2}\right)}{2R}.$$
Проверим формулу на крайних случаях. Если оба проводника стоят ($\upsilon_{1}=\upsilon_{2}=0$), ток равен нулю — верно, поток не меняется. Если поля нет ($B=0$), тока тоже нет. А если разогнать только один проводник, останется $I=\dfrac{Bl\upsilon}{2R}$ — классический результат для одного стержня и двух последовательных сопротивлений. Размерность тоже сходится: $\text{Тл}\cdot\text{м}\cdot\text{м/с}$ даёт вольты, делим на омы — получаем амперы.
Почему модель именно такая. Используется закон электромагнитной индукции Фарадея, записанный для контура $ACDE$: изменение магнитного потока происходит только за счёт изменения площади контура, ведь поле однородно и постоянно. Частный случай этого закона — ЭДС индукции в прямом проводнике $\mathcal{E}=Bl\upsilon$ — применим потому, что скорость проводника перпендикулярна и ему самому, и вектору индукции. Далее работает закон Ома для полной цепи, где источниками служат оба движущихся проводника, а их же сопротивления образуют последовательное соединение (рельсы идеальны). Разъезжание проводников означает рост потока, поэтому вклады обеих ЭДС в контуре направлены согласованно и суммируются.