ID: 00026581
На горизонтальном столе лежат два параллельных друг другу рельса: a и b , замкнутых двумя одинаковыми металлическими проводниками: AC и ED (см. рисунок). Вся система проводников находится в однородном магнитном поле, направленном вертикально вниз. Модуль индукции магнитного поля равен В , расстояние между рельсами l , скорости проводников \upsilon _{1} и \upsilon _{2}, сопротивление каждого из проводников R . Какова сила тока в цепи? Сопротивлением рельсов пренебречь.
Источник: ФИПИ
Два проводника скользят по рельсам в разные стороны: AC уезжает влево, ED — вправо. Каждый из них, пересекая линии магнитного поля, работает как маленькая батарейка. Вопрос в том, складываются эти «батарейки» или вычитаются, и какое полное сопротивление у получившейся цепи.
Шаг 1 — ЭДС каждого проводника. Для прямого проводника длиной l, который движется со скоростью \upsilon перпендикулярно самому себе и перпендикулярно однородному полю \vec{B}, ЭДС индукции равна \mathcal{E}=Bl\upsilon. Здесь поле вертикально, проводники горизонтальны и движутся горизонтально поперёк себя, так что условие перпендикулярности выполнено: \mathcal{E}_{1}=Bl\upsilon_{1},\qquad\mathcal{E}_{2}=Bl\upsilon_{2}.
Шаг 2 — складываются или вычитаются. Посмотрим на площадь контура ACDE, заключённого между проводниками. Проводники разъезжаются, значит эта площадь растёт, и вместе с ней растёт магнитный поток сквозь контур. Скорость увеличения расстояния между проводниками равна \upsilon_{1}+\upsilon_{2}, поэтому по закону Фарадея \mathcal{E}=\left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right|=Bl\left(\upsilon_{1}+\upsilon_{2}\right)=\mathcal{E}_{1}+\mathcal{E}_{2}. То есть ЭДС именно складываются. (Если бы проводники ехали в одну сторону, расстояние между ними менялось бы со скоростью \left|\upsilon_{1}-\upsilon_{2}\right|, и ЭДС вычитались бы.)
Шаг 3 — сопротивление цепи. Ток идёт по замкнутому пути: по проводнику AC, по рельсу, по проводнику ED, обратно по другому рельсу. Сопротивлением рельсов пренебрегаем, значит в контуре последовательно включены два одинаковых сопротивления: R_{общ}=R+R=2R.
Шаг 4 — ток. По закону Ома для полной цепи: I=\frac{\mathcal{E}}{R_{общ}}=\frac{Bl\left(\upsilon_{1}+\upsilon_{2}\right)}{2R}.
Проверим формулу на крайних случаях. Если оба проводника стоят (\upsilon_{1}=\upsilon_{2}=0), ток равен нулю — верно, поток не меняется. Если поля нет (B=0), тока тоже нет. А если разогнать только один проводник, останется I=\dfrac{Bl\upsilon}{2R} — классический результат для одного стержня и двух последовательных сопротивлений. Размерность тоже сходится: \text{Тл}\cdot\text{м}\cdot\text{м/с} даёт вольты, делим на омы — получаем амперы.
Почему модель именно такая. Используется закон электромагнитной индукции Фарадея, записанный для контура ACDE: изменение магнитного потока происходит только за счёт изменения площади контура, ведь поле однородно и постоянно. Частный случай этого закона — ЭДС индукции в прямом проводнике \mathcal{E}=Bl\upsilon — применим потому, что скорость проводника перпендикулярна и ему самому, и вектору индукции. Далее работает закон Ома для полной цепи, где источниками служат оба движущихся проводника, а их же сопротивления образуют последовательное соединение (рельсы идеальны). Разъезжание проводников означает рост потока, поэтому вклады обеих ЭДС в контуре направлены согласованно и суммируются.