ID: 00026617
По горизонтально расположенным шероховатым рельсам с пренебрежимо малым сопротивлением могут скользить два одинаковых стержня массой m=100 г и сопротивлением R=0,1 Ом каждый. Расстояние между рельсами l=10 см, а коэффициент трения между стержнями и рельсами \mathrm{\mu}=0,1. Рельсы со стержнями находятся в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией B=1 Тл (см. рисунок). Под действием горизонтальной силы, действующей на первый стержень вдоль рельс, оба стержня движутся поступательно равномерно с разными скоростями. Какова скорость движения первого стержня относительно второго? Самоиндукцией контура пренебречь.
Источник: ФИПИ
Ситуация необычная: на рельсах лежат СРАЗУ ДВА одинаковых стержня, и тянут только за первый. Второй никто не трогает — но он тоже едет. Почему? Потому что стержни соединены рельсами в один контур: когда первый уезжает от второго, площадь контура растёт, магнитный поток меняется, по контуру идёт ток, и на второй стержень начинает действовать сила Ампера. Она-то его и волочёт.
Шаг 1 — от чего зависит ЭДС. Площадь контура определяется расстоянием между стержнями, а оно меняется со скоростью \upsilon_{отн}=\upsilon_1-\upsilon_2 — это и есть искомая относительная скорость. Поэтому ЭДС индукции определяется именно относительной скоростью: \mathcal{E}=Bl\left(\upsilon_1-\upsilon_2\right)=Bl\,\upsilon_{отн}. Если бы стержни ехали одинаково, площадь бы не менялась, тока бы не было и второй стержень никто бы не тащил.
Шаг 2 — ток в контуре. Сопротивление рельсов пренебрежимо мало, а два стержня включены в контур последовательно, поэтому полное сопротивление равно 2R=0{,}2 Ом. Самоиндукцией условие велит пренебречь, значит I=\dfrac{\mathcal{E}}{2R}=\dfrac{Bl\,\upsilon_{отн}}{2R}.
Шаг 3 — смотрим на второй стержень. Именно он — ключ к решению, потому что к нему не приложено никаких внешних рук. На него действуют только сила Ампера F_A=BIl (она тянет его вслед за первым — так требует правило Ленца: система «сопротивляется» росту площади, подтягивая отстающий стержень) и сила трения.
Шаг 4 — трение на втором стержне. Поле вертикальное, ток горизонтален вдоль стержня, поэтому сила Ампера горизонтальна и на прижим не влияет. Прижимает стержень только его вес: N=mg, и F_{тр}=\mu mg=0{,}1\cdot0{,}1\cdot10=0{,}1 Н.
Шаг 5 — второй закон Ньютона для второго стержня. Он движется равномерно, значит BIl=\mu mg. Отсюда сразу находим ток: I=\dfrac{\mu mg}{Bl}=\dfrac{0{,}1}{1\cdot0{,}1}=1 А.
Шаг 6 — возвращаемся к скорости. Из выражения для тока I=\dfrac{Bl\,\upsilon_{отн}}{2R} выражаем: \upsilon_{отн}=\dfrac{2RI}{Bl}=\dfrac{2\cdot0{,}1\cdot1}{1\cdot0{,}1}=\dfrac{0{,}2}{0{,}1}=2 м/с.
Итоговая формула одной строкой: \upsilon_{отн}=\dfrac{2R\mu mg}{B^2l^2}. Проверим по ней: \dfrac{2\cdot0{,}1\cdot0{,}1\cdot0{,}1\cdot10}{1^2\cdot0{,}1^2}=\dfrac{0{,}02}{0{,}01}=2 м/с — совпало.
Обрати внимание, чего в ответе НЕТ: приложенной силы F. Она в задаче даже не задана, и это не упущение — сколько бы ни тянули за первый стержень, второй поедет ровно на пределе трения, а значит ток и относительная скорость всегда получатся одними и теми же. Сама сила F определяет только абсолютные скорости, а разность между ними — нет.
Обоснование модели. Работают: закон электромагнитной индукции для контура с подвижными сторонами, сведённый к \mathcal{E}=Bl\upsilon_{отн} (поле однородно и вертикально, стержни горизонтальны и перпендикулярны рельсам, поэтому синусы углов равны единице, а меняется только длина контура); закон Ома для замкнутой цепи с двумя последовательными сопротивлениями I=\dfrac{\mathcal{E}}{2R} — сопротивлением рельсов и самоиндукцией пренебрегаем по условию; закон Ампера F_A=BIl; закон сухого трения F_{тр}=\mu N при N=mg; второй закон Ньютона при нулевом ускорении для второго стержня. Оба стержня движутся поступательно, поэтому рассматриваем их как материальные точки.