ID: 00026617
По горизонтально расположенным шероховатым рельсам с пренебрежимо малым сопротивлением могут скользить два одинаковых стержня массой $m=100$ г и сопротивлением $R=0,1$ Ом каждый. Расстояние между рельсами $l=10$ см, а коэффициент трения между стержнями и рельсами $\mathrm{\mu}=0,1.$ Рельсы со стержнями находятся в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией $B=1$ Тл (см. рисунок). Под действием горизонтальной силы, действующей на первый стержень вдоль рельс, оба стержня движутся поступательно равномерно с разными скоростями. Какова скорость движения первого стержня относительно второго? Самоиндукцией контура пренебречь.
Источник: ФИПИ
Ситуация необычная: на рельсах лежат СРАЗУ ДВА одинаковых стержня, и тянут только за первый. Второй никто не трогает — но он тоже едет. Почему? Потому что стержни соединены рельсами в один контур: когда первый уезжает от второго, площадь контура растёт, магнитный поток меняется, по контуру идёт ток, и на второй стержень начинает действовать сила Ампера. Она-то его и волочёт.
Шаг 1 — от чего зависит ЭДС. Площадь контура определяется расстоянием между стержнями, а оно меняется со скоростью $\upsilon_{отн}=\upsilon_1-\upsilon_2$ — это и есть искомая относительная скорость. Поэтому ЭДС индукции определяется именно относительной скоростью: $\mathcal{E}=Bl\left(\upsilon_1-\upsilon_2\right)=Bl\,\upsilon_{отн}$. Если бы стержни ехали одинаково, площадь бы не менялась, тока бы не было и второй стержень никто бы не тащил.
Шаг 2 — ток в контуре. Сопротивление рельсов пренебрежимо мало, а два стержня включены в контур последовательно, поэтому полное сопротивление равно $2R=0{,}2$ Ом. Самоиндукцией условие велит пренебречь, значит $I=\dfrac{\mathcal{E}}{2R}=\dfrac{Bl\,\upsilon_{отн}}{2R}$.
Шаг 3 — смотрим на второй стержень. Именно он — ключ к решению, потому что к нему не приложено никаких внешних рук. На него действуют только сила Ампера $F_A=BIl$ (она тянет его вслед за первым — так требует правило Ленца: система «сопротивляется» росту площади, подтягивая отстающий стержень) и сила трения.
Шаг 4 — трение на втором стержне. Поле вертикальное, ток горизонтален вдоль стержня, поэтому сила Ампера горизонтальна и на прижим не влияет. Прижимает стержень только его вес: $N=mg$, и $F_{тр}=\mu mg=0{,}1\cdot0{,}1\cdot10=0{,}1$ Н.
Шаг 5 — второй закон Ньютона для второго стержня. Он движется равномерно, значит $BIl=\mu mg$. Отсюда сразу находим ток: $I=\dfrac{\mu mg}{Bl}=\dfrac{0{,}1}{1\cdot0{,}1}=1$ А.
Шаг 6 — возвращаемся к скорости. Из выражения для тока $I=\dfrac{Bl\,\upsilon_{отн}}{2R}$ выражаем: $\upsilon_{отн}=\dfrac{2RI}{Bl}=\dfrac{2\cdot0{,}1\cdot1}{1\cdot0{,}1}=\dfrac{0{,}2}{0{,}1}=2$ м/с.
Итоговая формула одной строкой: $\upsilon_{отн}=\dfrac{2R\mu mg}{B^2l^2}$. Проверим по ней: $\dfrac{2\cdot0{,}1\cdot0{,}1\cdot0{,}1\cdot10}{1^2\cdot0{,}1^2}=\dfrac{0{,}02}{0{,}01}=2$ м/с — совпало.
Обрати внимание, чего в ответе НЕТ: приложенной силы $F$. Она в задаче даже не задана, и это не упущение — сколько бы ни тянули за первый стержень, второй поедет ровно на пределе трения, а значит ток и относительная скорость всегда получатся одними и теми же. Сама сила $F$ определяет только абсолютные скорости, а разность между ними — нет.
Обоснование модели. Работают: закон электромагнитной индукции для контура с подвижными сторонами, сведённый к $\mathcal{E}=Bl\upsilon_{отн}$ (поле однородно и вертикально, стержни горизонтальны и перпендикулярны рельсам, поэтому синусы углов равны единице, а меняется только длина контура); закон Ома для замкнутой цепи с двумя последовательными сопротивлениями $I=\dfrac{\mathcal{E}}{2R}$ — сопротивлением рельсов и самоиндукцией пренебрегаем по условию; закон Ампера $F_A=BIl$; закон сухого трения $F_{тр}=\mu N$ при $N=mg$; второй закон Ньютона при нулевом ускорении для второго стержня. Оба стержня движутся поступательно, поэтому рассматриваем их как материальные точки.