ID: 00026589
В электрической цепи, показанной на рисунке, ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока соответственно равны 12 В и 1 Ом, ёмкость конденсатора 2 мФ, индуктивность катушки 36 мГн и сопротивление лампы 5 Ом. В начальный момент времени ключ К замкнут. Какая энергия выделится в лампе после размыкания ключа? Сопротивлением катушки и проводов пренебречь.
Источник: ФИПИ
Ключевая мысль такой задачи: после размыкания ключа источник исчезает, а всё, что успели накопить конденсатор и катушка, деться никуда не может — единственный элемент, способный превращать электрическую энергию в тепло, это лампа. Значит, надо честно посчитать оба запаса энергии и сложить их.
Шаг 1 — разбираем схему. Три параллельные ветви между верхним и нижним проводами: слева источник с ключом К, в середине последовательно соединённые лампа и катушка, справа конденсатор. Пока ключ замкнут и всё установилось, через конденсатор ток не идёт, а катушка при постоянном токе ведёт себя как обычный провод.
Шаг 2 — ток в цепи. Сопротивление есть только у лампы и у источника, поэтому по закону Ома для полной цепи $$I=\frac{\mathcal{E}}{R+r}=\frac{12}{5+1}=2\ \text{А}.$$
Шаг 3 — напряжение на конденсаторе. Он подключён параллельно паре «лампа + катушка». На катушке падения нет, значит напряжение на конденсаторе равно напряжению на лампе: $$U=IR=2\cdot5=10\ \text{В}.$$ Это меньше ЭДС: один вольт «съело» внутреннее сопротивление ($Ir=2\cdot1=2$ В... проверим: $10+2=12$ В — сходится).
Шаг 4 — энергия конденсатора. $$W_{C}=\frac{CU^{2}}{2}=\frac{2\cdot10^{-3}\cdot10^{2}}{2}=\frac{2\cdot10^{-3}\cdot100}{2}=0{,}1\ \text{Дж}.$$
Шаг 5 — энергия катушки. Через неё шёл тот же ток $I=2$ А: $$W_{L}=\frac{LI^{2}}{2}=\frac{36\cdot10^{-3}\cdot4}{2}=72\cdot10^{-3}=0{,}072\ \text{Дж}.$$
Шаг 6 — итог. После размыкания ключа остаётся контур «конденсатор — лампа — катушка», в нём происходят затухающие колебания, и вся запасённая энергия по закону сохранения энергии выделяется на лампе: $$W=W_{C}+W_{L}=0{,}1+0{,}072=0{,}172\ \text{Дж}=172\ \text{мДж}.$$
Стоит подчеркнуть два места, где чаще всего теряют баллы. Первое — принять напряжение на конденсаторе равным ЭДС: тут оно $10$ В, а не $12$ В, потому что часть напряжения падает на внутреннем сопротивлении источника. Второе — забыть энергию катушки, а она даёт больше сорока процентов ответа.
Почему модель именно такая. Используются: закон Ома для полной цепи $I=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}$ — он записан в таком виде, потому что в установившемся режиме через конденсатор постоянный ток не течёт, а идеальная катушка при $\dfrac{\Delta I}{\Delta t}=0$ не создаёт ЭДС самоиндукции и не имеет сопротивления; правило параллельного соединения, дающее напряжение на конденсаторе; формулы энергии электрического поля конденсатора $\dfrac{CU^{2}}{2}$ и магнитного поля катушки $\dfrac{LI^{2}}{2}$; закон сохранения энергии для контура без источника — вся энергия превращается в теплоту на единственном сопротивлении, то есть на лампе.