Задание ЕГЭ по физике: Конденсатор С _{1} заряжен до напряжения U равно 300 В и включён…

Заряженный конденсатор C_{1} соединён последовательно с пустым C_{2} и резистором. Замкнём ключ — заряд начнёт перетекать с первого конденсатора на второй, и это перетекание будет идти до тех пор, пока напряжения конденсаторов не уравновесят друг друга. Часть энергии по дороге неизбежно уйдёт в тепло на резисторе — эту теплоту нам и сообщили. Заметь сразу: величина R в ответ не войдёт, она определяет только, как долго идёт перезарядка, а не сколько тепла выделится.

Шаг 1 — начальное состояние. Заряд первого конденсатора q_{0}=C_{1}U, его энергия W_{0}=\frac{C_{1}U^{2}}{2}. Второй конденсатор пуст: заряда и энергии нет.

Шаг 2 — конечное состояние. Конденсаторы включены последовательно, поэтому через них протекает один и тот же заряд: сколько «ушло» с первого, столько «пришло» на второй. Пусть перетёк заряд \Delta q. Тогда на C_{1} осталось q_{0}-\Delta q, а на C_{2} накопилось \Delta q. Ток прекращается, когда напряжения конденсаторов сравняются (они включены навстречу друг другу): \frac{q_{0}-\Delta q}{C_{1}}=\frac{\Delta q}{C_{2}}\quad\Rightarrow\quad\Delta q=\frac{q_{0}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}.

Шаг 3 — энергия в конце. Подставим q_{0}-\Delta q=\dfrac{q_{0}C_{1}}{C_{1}+C_{2}}: W=\frac{\left(q_{0}-\Delta q\right)^{2}}{2C_{1}}+\frac{\Delta q^{2}}{2C_{2}}=\frac{q_{0}^{2}C_{1}}{2\left(C_{1}+C_{2}\right)^{2}}+\frac{q_{0}^{2}C_{2}}{2\left(C_{1}+C_{2}\right)^{2}}=\frac{q_{0}^{2}}{2\left(C_{1}+C_{2}\right)}.

Шаг 4 — сколько ушло в тепло. По закону сохранения энергии вся убыль энергии конденсаторов превратилась в теплоту на резисторе: Q=W_{0}-W=\frac{q_{0}^{2}}{2}\left(\frac{1}{C_{1}}-\frac{1}{C_{1}+C_{2}}\right)=\frac{q_{0}^{2}}{2}\cdot\frac{C_{2}}{C_{1}\left(C_{1}+C_{2}\right)}. Подставим q_{0}=C_{1}U и сократим: Q=\frac{U^{2}}{2}\cdot\frac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}. Красивый результат: в ответе стоит ёмкость последовательного соединения двух конденсаторов.

Шаг 5 — находим C_{1}. Обозначим C_{посл}=\dfrac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}. Тогда C_{посл}=\frac{2Q}{U^{2}}=\frac{2\cdot30\cdot10^{-3}}{300^{2}}=\frac{0{,}06}{9\cdot10^{4}}\approx6{,}67\cdot10^{-7}\ \text{Ф}=\frac{2}{3}\ \text{мкФ}. Дальше из \dfrac{1}{C_{посл}}=\dfrac{1}{C_{1}}+\dfrac{1}{C_{2}} (в микрофарадах): \frac{1}{C_{1}}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1\quad\Rightarrow\quad C_{1}=1\ \text{мкФ}.

Проверим обратным ходом: \dfrac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}=\dfrac{1\cdot2}{3}=\dfrac{2}{3} мкФ, и Q=\dfrac{300^{2}}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot10^{-6}=45000\cdot6{,}67\cdot10^{-7}=0{,}03 Дж =30 мДж — точно как в условии.

Почему модель именно такая. Ключевое утверждение — при последовательном соединении через оба конденсатора проходит одинаковый заряд (это следствие закона сохранения заряда для изолированного участка между обкладками). Условие прекращения тока — равенство напряжений на конденсаторах, включённых навстречу, то есть нулевая сумма напряжений вдоль контура. Энергия каждого конденсатора считается по формуле W=\dfrac{q^{2}}{2C}=\dfrac{CU^{2}}{2}, а закон сохранения энергии связывает убыль этой энергии с теплотой на резисторе: других потребителей в контуре нет, поэтому вся разность идёт именно туда, независимо от величины R.