ID: 00026594
Конденсатор $C_{1}$ заряжен до напряжения $U=300$ В и включён в последовательную цепь из резистора $R=300$ Ом, незаряженного конденсатора $C_{2}=2$ мкФ и разомкнутого ключа К (см. рисунок). После замыкания ключа в процессе перезарядки конденсаторов в цепи выделяется количество теплоты $Q=30$ мДж. Чему равна ёмкость конденсатора $C_{1}$?
Источник: ФИПИ
Заряженный конденсатор $C_{1}$ соединён последовательно с пустым $C_{2}$ и резистором. Замкнём ключ — заряд начнёт перетекать с первого конденсатора на второй, и это перетекание будет идти до тех пор, пока напряжения конденсаторов не уравновесят друг друга. Часть энергии по дороге неизбежно уйдёт в тепло на резисторе — эту теплоту нам и сообщили. Заметь сразу: величина $R$ в ответ не войдёт, она определяет только, как долго идёт перезарядка, а не сколько тепла выделится.
Шаг 1 — начальное состояние. Заряд первого конденсатора $q_{0}=C_{1}U$, его энергия $$W_{0}=\frac{C_{1}U^{2}}{2}.$$ Второй конденсатор пуст: заряда и энергии нет.
Шаг 2 — конечное состояние. Конденсаторы включены последовательно, поэтому через них протекает один и тот же заряд: сколько «ушло» с первого, столько «пришло» на второй. Пусть перетёк заряд $\Delta q$. Тогда на $C_{1}$ осталось $q_{0}-\Delta q$, а на $C_{2}$ накопилось $\Delta q$. Ток прекращается, когда напряжения конденсаторов сравняются (они включены навстречу друг другу): $$\frac{q_{0}-\Delta q}{C_{1}}=\frac{\Delta q}{C_{2}}\quad\Rightarrow\quad\Delta q=\frac{q_{0}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}.$$
Шаг 3 — энергия в конце. Подставим $q_{0}-\Delta q=\dfrac{q_{0}C_{1}}{C_{1}+C_{2}}$: $$W=\frac{\left(q_{0}-\Delta q\right)^{2}}{2C_{1}}+\frac{\Delta q^{2}}{2C_{2}}=\frac{q_{0}^{2}C_{1}}{2\left(C_{1}+C_{2}\right)^{2}}+\frac{q_{0}^{2}C_{2}}{2\left(C_{1}+C_{2}\right)^{2}}=\frac{q_{0}^{2}}{2\left(C_{1}+C_{2}\right)}.$$
Шаг 4 — сколько ушло в тепло. По закону сохранения энергии вся убыль энергии конденсаторов превратилась в теплоту на резисторе: $$Q=W_{0}-W=\frac{q_{0}^{2}}{2}\left(\frac{1}{C_{1}}-\frac{1}{C_{1}+C_{2}}\right)=\frac{q_{0}^{2}}{2}\cdot\frac{C_{2}}{C_{1}\left(C_{1}+C_{2}\right)}.$$ Подставим $q_{0}=C_{1}U$ и сократим: $$Q=\frac{U^{2}}{2}\cdot\frac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}.$$ Красивый результат: в ответе стоит ёмкость последовательного соединения двух конденсаторов.
Шаг 5 — находим $C_{1}$. Обозначим $C_{посл}=\dfrac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}$. Тогда $$C_{посл}=\frac{2Q}{U^{2}}=\frac{2\cdot30\cdot10^{-3}}{300^{2}}=\frac{0{,}06}{9\cdot10^{4}}\approx6{,}67\cdot10^{-7}\ \text{Ф}=\frac{2}{3}\ \text{мкФ}.$$ Дальше из $\dfrac{1}{C_{посл}}=\dfrac{1}{C_{1}}+\dfrac{1}{C_{2}}$ (в микрофарадах): $$\frac{1}{C_{1}}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1\quad\Rightarrow\quad C_{1}=1\ \text{мкФ}.$$
Проверим обратным ходом: $\dfrac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}=\dfrac{1\cdot2}{3}=\dfrac{2}{3}$ мкФ, и $Q=\dfrac{300^{2}}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot10^{-6}=45000\cdot6{,}67\cdot10^{-7}=0{,}03$ Дж $=30$ мДж — точно как в условии.
Почему модель именно такая. Ключевое утверждение — при последовательном соединении через оба конденсатора проходит одинаковый заряд (это следствие закона сохранения заряда для изолированного участка между обкладками). Условие прекращения тока — равенство напряжений на конденсаторах, включённых навстречу, то есть нулевая сумма напряжений вдоль контура. Энергия каждого конденсатора считается по формуле $W=\dfrac{q^{2}}{2C}=\dfrac{CU^{2}}{2}$, а закон сохранения энергии связывает убыль этой энергии с теплотой на резисторе: других потребителей в контуре нет, поэтому вся разность идёт именно туда, независимо от величины $R$.