Задание ЕГЭ по физике: Маленький шарик массой m равно 1 г с зарядом q больше 0,…

Тут перед нами своеобразный «электрический маятник». Шарик массой m=1 г висит на шёлковой нитке длиной l=0{,}8 м, а вокруг — горизонтальное однородное электрическое поле напряжённостью E=6\cdot10^{5} В/м. На рисунке видно, что поле смотрит влево, туда шарик и уходит. Отпустили его из вертикального положения нити без начальной скорости, и к моменту отклонения на \alpha=30^\circ он разогнался до \upsilon=0{,}8 м/с. По этой скорости и надо восстановить заряд.

Шаг 1 — выбор метода. Тут не надо искать ускорение: оно всё время меняет и величину, и направление, потому что шарик едет по дуге. Гораздо проще посчитать энергию: она связывает начальное и конечное состояния напрямую, минуя все промежуточные подробности.

Шаг 2 — какие силы совершают работу. Их две: постоянная электрическая сила F=qE и сила тяжести mg. Натяжение нити работы не совершает вовсе — оно в каждый момент перпендикулярно скорости шарика. Сопротивлением воздуха условие велит пренебречь.

Шаг 3 — геометрия. При отклонении нити на угол \alpha шарик уезжает по горизонтали на l\sin\alpha=0{,}8\cdot0{,}5=0{,}4 м и одновременно поднимается на l(1-\cos\alpha)=0{,}8\cdot(1-0{,}866)=0{,}8\cdot0{,}134\approx0{,}107 м. Второе часто забывают: шарик не просто едет вбок, он ещё и «взбирается» по дуге.

Шаг 4 — энергетический баланс. Кинетическая энергия в конце равна сумме работ: \dfrac{m\upsilon^2}{2}=qE\,l\sin\alpha-mg\,l(1-\cos\alpha). Работа поля положительна (шарик едет туда, куда его толкают), работа тяжести отрицательна (шарик поднимается).

Шаг 5 — выражаем заряд. Перенесём работу тяжести в левую часть: qE\,l\sin\alpha=\dfrac{m\upsilon^2}{2}+mg\,l(1-\cos\alpha), откуда q=\dfrac{m\left[\dfrac{\upsilon^2}{2}+g\,l(1-\cos\alpha)\right]}{E\,l\sin\alpha}.

Шаг 6 — арифметика. Квадратная скобка: \dfrac{0{,}8^2}{2}+10\cdot0{,}8\cdot0{,}134=0{,}32+1{,}072=1{,}392. Числитель: 10^{-3}\cdot1{,}392=1{,}392\cdot10^{-3} Дж. Знаменатель: 6\cdot10^{5}\cdot0{,}8\cdot0{,}5=6\cdot10^{5}\cdot0{,}4=2{,}4\cdot10^{5}. Итог: q=\dfrac{1{,}392\cdot10^{-3}}{2{,}4\cdot10^{5}}=5{,}8\cdot10^{-9} Кл, то есть примерно 5{,}8 нКл.

Проверим, сходится ли по силам: электрическая сила qE=5{,}8\cdot10^{-9}\cdot6\cdot10^{5}\approx3{,}5\cdot10^{-3} Н, вес шарика mg=10^{-2} Н. Электрическая сила примерно втрое меньше веса — значит, шарик не может отклониться слишком сильно и в районе 30^\circ он ещё движется. Правдоподобно.

Обоснование модели. Шарик считаем материальной точкой. Используются: теорема о кинетической энергии (изменение кинетической энергии равно суммарной работе всех сил); выражение силы, действующей на точечный заряд в однородном электростатическом поле, F=qE — однородность поля гарантирует постоянство силы, поэтому её работа равна произведению силы на смещение вдоль направления поля; формула работы силы тяжести A=-mgh. Силу натяжения нити исключаем строго: нить нерастяжима, шарик движется по окружности, скорость направлена по касательной, натяжение — по радиусу, значит угол между ними прямой и работа равна нулю. Условие q\gt0 согласуется с тем, что шарик уходит В СТОРОНУ поля.