Задание ЕГЭ по физике: Частица, имеющая заряд q равно 5 умножить на 10 в степени минус…

Это классический «электрический баллистический» сюжет. На рисунке видно: сверху пластина заряжена положительно, снизу отрицательно, поле между ними направлено сверху вниз. Частица влетает слева ровно посередине зазора и летит параллельно пластинам. Пока она внутри конденсатора, поле сносит её поперёк — точно так же, как камень, брошенный горизонтально, сносит вниз сила тяжести.

Шаг 1 — что значит «минимальная скорость». Чем медленнее летит частица, тем дольше она находится в конденсаторе и тем сильнее её успевает снести. Если скорость слишком мала, частица не долетит до края и врежется в пластину. Пограничный случай — когда частица вылетает, чуть-чуть чиркнув по самому краю пластины. Значит, при \upsilon=250 м/с поперечное смещение за время полёта равно ровно половине зазора: y=\dfrac{d}{2}=\dfrac{0{,}01}{2}=0{,}005 м (частица летела посередине, значит до пластины ей как раз ползазора).

Шаг 2 — раскладываем движение на два независимых. Вдоль пластин на частицу ничего не действует (поле поперечное, силой тяжести пренебрегаем), поэтому вдоль оси движение равномерное: l=\upsilon t. Отсюда время пролёта t=\dfrac{l}{\upsilon}=\dfrac{0{,}05}{250}=2\cdot10^{-4} с.

Шаг 3 — поперёк. На частицу действует сила F=qE, постоянная (поле однородное), значит ускорение постоянно: a=\dfrac{qE}{m}. Начальной поперечной скорости нет, поэтому смещение по этой оси y=\dfrac{at^2}{2}.

Шаг 4 — собираем уравнение. Подставим a и t: \dfrac{d}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{qE}{m}\cdot\left(\dfrac{l}{\upsilon}\right)^2. Двойки слева и справа сокращаются: d=\dfrac{qEl^2}{m\upsilon^2}.

Шаг 5 — выражаем массу: m=\dfrac{qEl^2}{d\upsilon^2}.

Шаг 6 — подставляем числа. Сила: qE=5\cdot10^{-9}\cdot5000=2{,}5\cdot10^{-5} Н. Квадрат длины: l^2=(0{,}05)^2=2{,}5\cdot10^{-3}\ \text{м}^2. Числитель: 2{,}5\cdot10^{-5}\cdot2{,}5\cdot10^{-3}=6{,}25\cdot10^{-8}. Знаменатель: d\upsilon^2=0{,}01\cdot250^2=0{,}01\cdot62500=625. Итог: m=\dfrac{6{,}25\cdot10^{-8}}{625}=1\cdot10^{-10} кг.

Проверим себя по-другому: ускорение a=\dfrac{qE}{m}=\dfrac{2{,}5\cdot10^{-5}}{10^{-10}}=2{,}5\cdot10^{5}\ \text{м}/\text{с}^2, время t=2\cdot10^{-4} с, смещение y=\dfrac{2{,}5\cdot10^{5}\cdot(2\cdot10^{-4})^2}{2}=\dfrac{2{,}5\cdot10^{5}\cdot4\cdot10^{-8}}{2}=5\cdot10^{-3} м =5 мм — это и есть половина зазора. Всё сходится.

Обоснование модели. Используются: выражение силы, действующей на заряд в однородном электрическом поле, F=qE (условие прямо разрешает считать поле внутри конденсатора однородным, значит сила постоянна); второй закон Ньютона a=\dfrac{F}{m}; принцип независимости движений по взаимно перпендикулярным направлениям — вдоль пластин равномерное движение l=\upsilon t, поперёк равноускоренное без начальной скорости y=\dfrac{at^2}{2}. Силой тяжести и сопротивлением среды пренебрегаем по прямому указанию условия (конденсатор в вакууме). Условие минимальности скорости переводится в геометрическое условие «поперечное смещение равно d/2»: при меньшей скорости время пролёта больше, смещение выходит за ползазора, и частица садится на пластину.