Электростатика — Задание 25 ЕГЭ по физике №00026608

Это классический «электрический баллистический» сюжет. На рисунке видно: сверху пластина заряжена положительно, снизу отрицательно, поле между ними направлено сверху вниз. Частица влетает слева ровно посередине зазора и летит параллельно пластинам. Пока она внутри конденсатора, поле сносит её поперёк — точно так же, как камень, брошенный горизонтально, сносит вниз сила тяжести.

Шаг 1 — что значит «минимальная скорость». Чем медленнее летит частица, тем дольше она находится в конденсаторе и тем сильнее её успевает снести. Если скорость слишком мала, частица не долетит до края и врежется в пластину. Пограничный случай — когда частица вылетает, чуть-чуть чиркнув по самому краю пластины. Значит, при $\upsilon=250$ м/с поперечное смещение за время полёта равно ровно половине зазора: $y=\dfrac{d}{2}=\dfrac{0{,}01}{2}=0{,}005$ м (частица летела посередине, значит до пластины ей как раз ползазора).

Шаг 2 — раскладываем движение на два независимых. Вдоль пластин на частицу ничего не действует (поле поперечное, силой тяжести пренебрегаем), поэтому вдоль оси движение равномерное: $l=\upsilon t$. Отсюда время пролёта $t=\dfrac{l}{\upsilon}=\dfrac{0{,}05}{250}=2\cdot10^{-4}$ с.

Шаг 3 — поперёк. На частицу действует сила $F=qE$, постоянная (поле однородное), значит ускорение постоянно: $a=\dfrac{qE}{m}$. Начальной поперечной скорости нет, поэтому смещение по этой оси $y=\dfrac{at^2}{2}$.

Шаг 4 — собираем уравнение. Подставим $a$ и $t$: $\dfrac{d}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{qE}{m}\cdot\left(\dfrac{l}{\upsilon}\right)^2$. Двойки слева и справа сокращаются: $d=\dfrac{qEl^2}{m\upsilon^2}$.

Шаг 5 — выражаем массу: $m=\dfrac{qEl^2}{d\upsilon^2}$.

Шаг 6 — подставляем числа. Сила: $qE=5\cdot10^{-9}\cdot5000=2{,}5\cdot10^{-5}$ Н. Квадрат длины: $l^2=(0{,}05)^2=2{,}5\cdot10^{-3}\ \text{м}^2$. Числитель: $2{,}5\cdot10^{-5}\cdot2{,}5\cdot10^{-3}=6{,}25\cdot10^{-8}$. Знаменатель: $d\upsilon^2=0{,}01\cdot250^2=0{,}01\cdot62500=625$. Итог: $m=\dfrac{6{,}25\cdot10^{-8}}{625}=1\cdot10^{-10}$ кг.

Проверим себя по-другому: ускорение $a=\dfrac{qE}{m}=\dfrac{2{,}5\cdot10^{-5}}{10^{-10}}=2{,}5\cdot10^{5}\ \text{м}/\text{с}^2$, время $t=2\cdot10^{-4}$ с, смещение $y=\dfrac{2{,}5\cdot10^{5}\cdot(2\cdot10^{-4})^2}{2}=\dfrac{2{,}5\cdot10^{5}\cdot4\cdot10^{-8}}{2}=5\cdot10^{-3}$ м $=5$ мм — это и есть половина зазора. Всё сходится.

Обоснование модели. Используются: выражение силы, действующей на заряд в однородном электрическом поле, $F=qE$ (условие прямо разрешает считать поле внутри конденсатора однородным, значит сила постоянна); второй закон Ньютона $a=\dfrac{F}{m}$; принцип независимости движений по взаимно перпендикулярным направлениям — вдоль пластин равномерное движение $l=\upsilon t$, поперёк равноускоренное без начальной скорости $y=\dfrac{at^2}{2}$. Силой тяжести и сопротивлением среды пренебрегаем по прямому указанию условия (конденсатор в вакууме). Условие минимальности скорости переводится в геометрическое условие «поперечное смещение равно $d/2$»: при меньшей скорости время пролёта больше, смещение выходит за ползазора, и частица садится на пластину.