На рисунке показана схема устройства — Задание 25 ЕГЭ физика

Задание №25. Электродинамика. Высокий Уровень Сложности

Электростатика

№2. Задание 25

ID: 00026586

На рисунке показана схема устройства для предварительного отбора заряженных частиц с целью последующего детального исследования. Устройство представляет собой конденсатор, пластины которого изогнуты дугой радиуса R ≈ 50 см. Предположим, что в промежуток между обкладками конденсатора из источника заряженных частиц (и. ч.) влетают, как показано на рисунке, ионы с зарядом е . Напряжённость электрического поля в конденсаторе по модулю равна 50 кВ/м. При каком значении кинетической энергии ионы пролетят сквозь конденсатор, не коснувшись его пластин? Считать, что расстояние между обкладками конденсатора мало, напряжённость электрического поля в конденсаторе всюду одинакова по модулю, а вне конденсатора электрическое поле отсутствует. Влиянием силы тяжести пренебречь.

Рисунок к заданию 25 ЕГЭ по физике — Электростатика

Источник: ФИПИ

Решение

Прибор на рисунке — это фильтр по энергии. Ион влетает в узкий изогнутый коридор между обкладками и должен пройти его насквозь, ни разу не задев стенку. Возможно это только в одном случае: если ион движется точно по дуге окружности радиуса $$R$$ , повторяя форму коридора. А закрутить его по такой дуге может только электрическая сила — значит, она обязана быть в точности равна нужной центростремительной силе. Из этого равенства и вылезет энергия.

Шаг 1 — какая сила действует. Силой тяжести пренебрегаем, магнитного поля нет. Остаётся сила со стороны электрического поля: $$$F=eE,$$$ где $$e$$ — заряд иона, $E=50\ \text{кВ/м}=5\cdot10^{4}$ В/м — модуль напряжённости. Направлена она поперёк скорости, к центру дуги.

Шаг 2 — почему скорость не меняется по модулю. Сила всё время перпендикулярна скорости, значит работы не совершает: она только поворачивает вектор скорости, не разгоняя и не тормозя ион. Поэтому и кинетическая энергия иона внутри прибора постоянна — её-то мы и ищем.

Шаг 3 — второй закон Ньютона для движения по окружности. $eE=\frac{m\upsilon^{2}}{R}.$

Шаг 4 — переходим к энергии. В правой части почти готовая кинетическая энергия: $m\upsilon^{2}=2E_{к}$ , где $E_{к}=\dfrac{m\upsilon^{2}}{2}$ . Тогда $eE=\frac{2E_{к}}{R}\quad\Rightarrow\quad E_{к}=\frac{eER}{2}.$ Обрати внимание: ни масса, ни скорость по отдельности в ответ не входят — прибор сортирует ионы именно по кинетической энергии.

Шаг 5 — считаем. Заряд иона равен элементарному, $e=1{,}6\cdot10^{-19}$ Кл, радиус $R=50\ \text{см}=0{,}5$ м: $E_{к}=\frac{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot5\cdot10^{4}\cdot0{,}5}{2}=\frac{4\cdot10^{-15}}{2}=2\cdot10^{-15}\ \text{Дж}.$

Переведём в привычные для физики частиц единицы: $\dfrac{2\cdot10^{-15}}{1{,}6\cdot10^{-19}}=1{,}25\cdot10^{4}$ эВ, то есть около $$12{,}5$$ кэВ. Для ионного пучка это совершенно рядовая энергия — значит, прибор реалистичен.

Почему модель именно такая. Ион рассматривается как материальная точка, движущаяся по дуге окружности радиуса $$R$$ : так можно, потому что зазор между обкладками мал по сравнению с $$R$$ , а напряжённость поля внутри всюду одинакова по модулю. Применяются определение напряжённости через силу ( $$F=eE$$ ) и второй закон Ньютона для движения по окружности, где равнодействующая направлена к центру и равна $\dfrac{m\upsilon^{2}}{R}$ . Постоянство модуля скорости следует из того, что единственная сила перпендикулярна скорости и работы не совершает, — именно поэтому радиус траектории не меняется на всём пути через прибор.