ID: 00026601
На столе закреплён длинный тонкий непроводящий стержень, наклонённый под углом $\mathrm{\alpha}$ к горизонту (см. рисунок). На стержне закреплена маленькая заряженная бусинка. Выше неё на стержень надета другая такая же заряженная бусинка, которая может скользить по стержню без трения. Заряды бусинок одинаковы и равны q , масса бусинки равна m . Определите расстояние $l$ между бусинками, если они находятся в равновесии. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на верхнюю бусинку. Электростатическим воздействием стола на бусинки пренебречь.
Источник: ФИПИ
Что мы видим на рисунке: наклонный непроводящий стержень, на нём внизу намертво закреплена одна заряженная бусинка, а выше по стержню надета вторая — такая же по заряду, но свободная, она может ездить вдоль стержня без трения. Верхняя бусинка не съезжает вниз только по одной причине: нижняя её отталкивает. Задача — найти расстояние, на котором это отталкивание в точности уравновешивает скатывающую силу.
Шаг 1 — силы на верхней бусинке. Их три. Сила тяжести $m\vec g$ — вертикально вниз. Сила реакции стержня $\vec N$ — перпендикулярно стержню (трения нет, значит вдоль стержня стержень не толкает). И кулоновская сила отталкивания $\vec F_к$ от нижней бусинки — вдоль стержня, вверх по наклону, ведь обе бусинки заряжены одинаково по знаку и отталкиваются, а находятся они обе на прямом стержне.
Шаг 2 — куда проецировать. Удобно взять ось вдоль стержня. Тогда реакция $\vec N$ выпадает из уравнения сразу — она перпендикулярна этой оси. Остаются только две проекции: кулоновская сила целиком вдоль оси и «скатывающая» часть тяжести $mg\sin\alpha$.
Шаг 3 — условие равновесия. Бусинка покоится, значит сумма проекций равна нулю: $F_к=mg\sin\alpha$.
Шаг 4 — подставляем закон Кулона. Бусинки маленькие, поэтому их считаем точечными зарядами: $F_к=k\dfrac{q\cdot q}{l^2}=\dfrac{kq^2}{l^2}$, где $k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}=9\cdot10^{9}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2$. Получаем уравнение $\dfrac{kq^2}{l^2}=mg\sin\alpha$.
Шаг 5 — выражаем расстояние. Умножим обе части на $l^2$ и разделим на $mg\sin\alpha$: $l^2=\dfrac{kq^2}{mg\sin\alpha}$, значит $l=q\sqrt{\dfrac{k}{mg\sin\alpha}}=q\sqrt{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0\,mg\sin\alpha}}$.
Проверим формулу «на здравый смысл». Чем больше заряд, тем сильнее отталкивание — и бусинка встанет дальше: $l$ растёт вместе с $q$, верно. Чем тяжелее бусинка или чем круче наклон, тем сильнее её тянет вниз — и она подъедет ближе к нижней, где отталкивание больше: $l$ уменьшается при росте $m$ и $\sin\alpha$, тоже верно. При $\alpha\to0$ (горизонтальный стержень) скатывающей силы нет, и равновесие возможно на любом расстоянии — формула честно даёт $l\to\infty$.
Обоснование модели. Бусинки считаем точечными зарядами — условие прямо называет их маленькими, а закон Кулона в виде $F=k\dfrac{q_1q_2}{r^2}$ справедлив именно для точечных зарядов. Стержень непроводящий, поэтому заряды на бусинках не растекаются и не наводят дополнительных зарядов; электростатическим влиянием стола условие велит пренебречь. Условие равновесия материальной точки (равнодействующая всех сил равна нулю) записано в проекции на ось вдоль стержня, а сила реакции опоры перпендикулярна стержню, потому что трения нет.
Рисунок к решению: на верхней бусинке изобрази три стрелки — $m\vec g$ вертикально вниз, $\vec N$ перпендикулярно стержню, $\vec F_к$ вдоль стержня вверх от нижней бусинки; рядом покажи разложение силы тяжести на составляющие вдоль ($mg\sin\alpha$) и поперёк ($mg\cos\alpha$) стержня.