ID: 00026601
На столе закреплён длинный тонкий непроводящий стержень, наклонённый под углом \mathrm{\alpha} к горизонту (см. рисунок). На стержне закреплена маленькая заряженная бусинка. Выше неё на стержень надета другая такая же заряженная бусинка, которая может скользить по стержню без трения. Заряды бусинок одинаковы и равны q , масса бусинки равна m . Определите расстояние l между бусинками, если они находятся в равновесии. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на верхнюю бусинку. Электростатическим воздействием стола на бусинки пренебречь.
Источник: ФИПИ
Что мы видим на рисунке: наклонный непроводящий стержень, на нём внизу намертво закреплена одна заряженная бусинка, а выше по стержню надета вторая — такая же по заряду, но свободная, она может ездить вдоль стержня без трения. Верхняя бусинка не съезжает вниз только по одной причине: нижняя её отталкивает. Задача — найти расстояние, на котором это отталкивание в точности уравновешивает скатывающую силу.
Шаг 1 — силы на верхней бусинке. Их три. Сила тяжести m\vec g — вертикально вниз. Сила реакции стержня \vec N — перпендикулярно стержню (трения нет, значит вдоль стержня стержень не толкает). И кулоновская сила отталкивания \vec F_к от нижней бусинки — вдоль стержня, вверх по наклону, ведь обе бусинки заряжены одинаково по знаку и отталкиваются, а находятся они обе на прямом стержне.
Шаг 2 — куда проецировать. Удобно взять ось вдоль стержня. Тогда реакция \vec N выпадает из уравнения сразу — она перпендикулярна этой оси. Остаются только две проекции: кулоновская сила целиком вдоль оси и «скатывающая» часть тяжести mg\sin\alpha.
Шаг 3 — условие равновесия. Бусинка покоится, значит сумма проекций равна нулю: F_к=mg\sin\alpha.
Шаг 4 — подставляем закон Кулона. Бусинки маленькие, поэтому их считаем точечными зарядами: F_к=k\dfrac{q\cdot q}{l^2}=\dfrac{kq^2}{l^2}, где k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}=9\cdot10^{9}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2. Получаем уравнение \dfrac{kq^2}{l^2}=mg\sin\alpha.
Шаг 5 — выражаем расстояние. Умножим обе части на l^2 и разделим на mg\sin\alpha: l^2=\dfrac{kq^2}{mg\sin\alpha}, значит l=q\sqrt{\dfrac{k}{mg\sin\alpha}}=q\sqrt{\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0\,mg\sin\alpha}}.
Проверим формулу «на здравый смысл». Чем больше заряд, тем сильнее отталкивание — и бусинка встанет дальше: l растёт вместе с q, верно. Чем тяжелее бусинка или чем круче наклон, тем сильнее её тянет вниз — и она подъедет ближе к нижней, где отталкивание больше: l уменьшается при росте m и \sin\alpha, тоже верно. При \alpha\to0 (горизонтальный стержень) скатывающей силы нет, и равновесие возможно на любом расстоянии — формула честно даёт l\to\infty.
Обоснование модели. Бусинки считаем точечными зарядами — условие прямо называет их маленькими, а закон Кулона в виде F=k\dfrac{q_1q_2}{r^2} справедлив именно для точечных зарядов. Стержень непроводящий, поэтому заряды на бусинках не растекаются и не наводят дополнительных зарядов; электростатическим влиянием стола условие велит пренебречь. Условие равновесия материальной точки (равнодействующая всех сил равна нулю) записано в проекции на ось вдоль стержня, а сила реакции опоры перпендикулярна стержню, потому что трения нет.
Рисунок к решению: на верхней бусинке изобрази три стрелки — m\vec g вертикально вниз, \vec N перпендикулярно стержню, \vec F_к вдоль стержня вверх от нижней бусинки; рядом покажи разложение силы тяжести на составляющие вдоль (mg\sin\alpha) и поперёк (mg\cos\alpha) стержня.