Задание ЕГЭ по физике: Маленький шарик массой m с зарядом q равно 5 нКл, подвешенный к…

Опишем сюжет. К потолку на нитке длиной l=0{,}8 м подвешен маленький заряженный шарик. Всё это стоит в горизонтальном однородном электрическом поле, и на рисунке видно, что вектор \vec E смотрит влево — именно туда шарик и уезжает. Отпускают его из положения, когда нитка вертикальна, то есть из состояния покоя в самой нижней точке дуги. Дальше шарик разгоняется вбок и одновременно поднимается по дуге.

Шаг 1 — выбираем инструмент. Скорость связана с пройденным путём по дуге, а не с прямолинейным разгоном, да и сила натяжения нити всё время меняет направление. Считать через второй закон Ньютона тут мучительно. Зато отлично работает энергетический подход: сила натяжения нити всегда перпендикулярна скорости и работы не совершает, а сила тяжести и электрическая сила постоянны — их работу легко посчитать.

Шаг 2 — геометрия перемещения. Пусть нить отклонилась на угол \alpha=30^\circ. Тогда шарик сместился по горизонтали (в сторону поля) на x=l\sin\alpha=0{,}8\cdot0{,}5=0{,}4 м и поднялся на высоту h=l(1-\cos\alpha)=0{,}8\cdot(1-0{,}866)=0{,}8\cdot0{,}134\approx0{,}107 м.

Шаг 3 — работа сил. Электрическая сила F=qE направлена вдоль поля, то есть туда же, куда шарик и смещается по горизонтали, поэтому её работа положительна: A_{эл}=qE\,l\sin\alpha. Сила тяжести направлена вниз, а шарик поднимается, поэтому её работа отрицательна: A_{тяж}=-mg\,l(1-\cos\alpha).

Шаг 4 — теорема о кинетической энергии. Изменение кинетической энергии равно сумме работ всех сил. В начале шарик покоился, значит \dfrac{m\upsilon^2}{2}-0=qE\,l\sin\alpha-mg\,l(1-\cos\alpha).

Шаг 5 — выражаем массу. Соберём все слагаемые с m в одну сторону: qE\,l\sin\alpha=m\left[\dfrac{\upsilon^2}{2}+g\,l(1-\cos\alpha)\right], откуда m=\dfrac{qE\,l\sin\alpha}{\dfrac{\upsilon^2}{2}+g\,l(1-\cos\alpha)}.

Шаг 6 — считаем. Электрическая сила: qE=5\cdot10^{-9}\cdot6\cdot10^{5}=3\cdot10^{-3} Н. Числитель: 3\cdot10^{-3}\cdot0{,}4=1{,}2\cdot10^{-3} Дж. Знаменатель: \dfrac{0{,}9^2}{2}+10\cdot0{,}8\cdot0{,}134=0{,}405+1{,}072=1{,}477\ \text{м}^2/\text{с}^2. Итог: m=\dfrac{1{,}2\cdot10^{-3}}{1{,}477}\approx8{,}1\cdot10^{-4} кг, то есть примерно 0{,}81 г.

Прикинем, разумно ли это. Вес такого шарика mg\approx8{,}1\cdot10^{-3} Н, а электрическая сила 3\cdot10^{-3} Н — примерно втрое меньше веса. Значит, поле способно отклонить шарик, но не слишком далеко, и угол в 30^\circ с ненулевой скоростью выглядит правдоподобно.

Обоснование модели. Шарик маленький, его считаем материальной точкой. Работают: теорема о кинетической энергии (закон изменения механической энергии) — изменение кинетической энергии равно работе всех сил; выражение силы, действующей на заряд в однородном электростатическом поле, F=qE (поле однородное, значит сила постоянна и её работа равна произведению силы на смещение вдоль поля); формула работы силы тяжести A=-mgh. Натяжение нити исключено из расчёта законно: нить нерастяжима, скорость шарика в любой момент направлена по касательной к окружности, а натяжение — вдоль радиуса, то есть перпендикулярно скорости, поэтому его работа равна нулю. Сопротивлением воздуха условие велит пренебречь, так что других сил в балансе энергии нет.