ID: 00026597
На рисунке показана схема устройства для предварительного отбора заряженных частиц, вылетающих из источника частиц (и.ч.), для последующего детального исследования. Устройство представляет собой конденсатор, пластины которого изогнуты дугой радиусом R .
При первоначальном напряжении U в промежутке между обкладками конденсатора, не касаясь их, пролетают молекулы интересующего исследователей вещества, потерявшие один электрон. Во сколько раз нужно изменить напряжение на обкладках конденсатора, чтобы сквозь него могли пролетать такие же, но дважды ионизированные молекулы (потерявшие два электрона), имеющие такую же скорость? Считать, что расстояние между пластинами мало, напряжённость электрического поля в конденсаторе всюду одинакова по модулю, а вне конденсатора электрическое поле отсутствует. Влиянием силы тяжести пренебречь.
Источник: ФИПИ
Перед нами прибор-«фильтр». На рисунке видно, что обкладки конденсатора не плоские, а согнуты дугой радиуса $R$: частицы влетают в узкую щель между ними сбоку и должны выйти с другого конца дуги, ни разу не задев пластины. Значит, внутри прибора частица обязана двигаться по той же самой дуге окружности радиуса $R$ — иначе она уткнётся в обкладку.
Шаг 1 — какая сила закручивает частицу. Между обкладками есть электрическое поле, направленное поперёк щели (от одной пластины к другой), то есть точно к центру дуги. На частицу с зарядом $q$ действует сила $F=qE$, и по условию силой тяжести можно пренебречь. Получается, что единственная сила направлена к центру окружности — как раз то, что нужно для движения по дуге.
Шаг 2 — второй закон Ньютона для движения по окружности. Тело массой $m$, движущееся по окружности радиуса $R$ со скоростью $\upsilon$, имеет центростремительное ускорение $a=\dfrac{\upsilon^2}{R}$. Значит, $qE=\dfrac{m\upsilon^2}{R}$.
Шаг 3 — выражаем поле через напряжение. Расстояние $d$ между обкладками мало, поэтому поле в щели можно считать однородным по модулю: $E=\dfrac{U}{d}$. Подставляем: $\dfrac{qU}{d}=\dfrac{m\upsilon^2}{R}$, откуда $U=\dfrac{m\upsilon^2 d}{qR}$.
Шаг 4 — что меняется, а что нет. Молекула та же самая, поэтому масса $m$ прежняя (потеря одного лишнего электрона массу молекулы практически не меняет). Скорость по условию та же. Геометрия прибора — $d$ и $R$ — не меняется. Единственное, что стало другим, — заряд: было $q_1=e$, стало $q_2=2e$.
Шаг 5 — берём отношение. Запишем формулу для двух случаев и поделим одну на другую: $\dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac{m\upsilon^2 d/(q_2R)}{m\upsilon^2 d/(q_1R)}=\dfrac{q_1}{q_2}=\dfrac{e}{2e}=\dfrac{1}{2}$. Все одинаковые множители сократились, и остался только заряд.
Значит, напряжение надо уменьшить ровно в $2$ раза: $U_2=\dfrac{U_1}{2}$.
Смысл результата на пальцах: чтобы завернуть частицу по той же дуге, нужна одна и та же сила. Но у дважды ионизированной молекулы заряд вдвое больше, и поле «цепляется» за неё вдвое сильнее. Поэтому поле — а вместе с ним и напряжение — надо ослабить вдвое.
Почему модель применима. Здесь работают: определение силы, действующей на заряд в электрическом поле, $F=qE$; второй закон Ньютона в проекции на направление к центру окружности с центростремительным ускорением $a=\upsilon^2/R$; связь напряжённости однородного поля с разностью потенциалов $E=U/d$. Право пользоваться однородным полем даёт прямое указание условия: расстояние между пластинами мало, а модуль напряжённости всюду одинаков. Право считать движение равномерным по окружности даёт то, что сила всё время перпендикулярна скорости и работы не совершает — модуль скорости не меняется.