ID: 00026576
В однородном электрическом поле с напряжённостью E=18 В/м находятся два точечных заряда: Q=-1 нКл и q=+5 нКл с массами M=5 г и m=10 г соответственно (см. рисунок). На каком расстоянии d друг от друга находятся заряды, если их ускорения совпадают по величине и направлению? Сделайте рисунок с указанием всех сил, действующих на заряды. Силой тяжести пренебречь.
Источник: ФИПИ
Два заряда висят в одном и том же однородном поле, но ведут себя по-разному: положительный q поле тянет по направлению \vec{E} (вправо по рисунку), отрицательный Q — против поля (влево). При этом заряды разноимённые, значит они ещё и притягиваются друг к другу. Требование задачи — чтобы оба разгонялись одинаково: с равными по величине и совпадающими по направлению ускорениями. Значит, кулоновское притяжение должно быть подобрано «в самый раз», а подбирается оно расстоянием.
Шаг 1 — силы на каждом заряде. Направление вправо (вдоль \vec{E}) считаем положительным. На заряд Q (он отрицательный, слева) действуют: сила поля \left|Q\right|E — влево, и кулоновское притяжение к q — вправо, модуль F. На заряд q (положительный, справа): сила поля qE — вправо, и притяжение к Q — влево, модуль тот же F (третий закон Ньютона).
Шаг 2 — второй закон Ньютона для каждого. Ma=F-\left|Q\right|E,\qquad ma=qE-F. Здесь a — общее для обоих ускорение (по условию они равны и одинаково направлены).
Шаг 3 — исключаем a. Выразим ускорение из обоих уравнений и приравняем: \frac{F-\left|Q\right|E}{M}=\frac{qE-F}{m}. Перемножим накрест: m\left(F-\left|Q\right|E\right)=M\left(qE-F\right), раскроем и соберём F: F\left(m+M\right)=E\left(Mq+m\left|Q\right|\right)\quad\Rightarrow\quad F=\frac{E\left(Mq+m\left|Q\right|\right)}{M+m}.
Шаг 4 — считаем силу. Переводим массы: M=5\ \text{г}=5\cdot10^{-3} кг, m=10\ \text{г}=10^{-2} кг; заряды: \left|Q\right|=10^{-9} Кл, q=5\cdot10^{-9} Кл. F=\frac{18\left(5\cdot10^{-3}\cdot5\cdot10^{-9}+10^{-2}\cdot10^{-9}\right)}{1{,}5\cdot10^{-2}}=\frac{18\left(2{,}5\cdot10^{-11}+10^{-11}\right)}{1{,}5\cdot10^{-2}}=\frac{18\cdot3{,}5\cdot10^{-11}}{1{,}5\cdot10^{-2}}=4{,}2\cdot10^{-8}\ \text{Н}.
Шаг 5 — от силы к расстоянию. По закону Кулона F=k\dfrac{\left|Q\right|q}{d^{2}}, где k=9\cdot10^{9}\ \text{Н}\cdot\text{м}^{2}/\text{Кл}^{2}. Отсюда d=\sqrt{\frac{k\left|Q\right|q}{F}}=\sqrt{\frac{9\cdot10^{9}\cdot10^{-9}\cdot5\cdot10^{-9}}{4{,}2\cdot10^{-8}}}=\sqrt{\frac{4{,}5\cdot10^{-8}}{4{,}2\cdot10^{-8}}}=\sqrt{\frac{15}{14}}\approx1{,}04\ \text{м}.
Проверим оба ускорения по отдельности: a=\dfrac{F-\left|Q\right|E}{M}=\dfrac{4{,}2\cdot10^{-8}-1{,}8\cdot10^{-8}}{5\cdot10^{-3}}=4{,}8\cdot10^{-6} м/с² и a=\dfrac{qE-F}{m}=\dfrac{9\cdot10^{-8}-4{,}2\cdot10^{-8}}{10^{-2}}=4{,}8\cdot10^{-6} м/с². Совпали, причём оба положительны — то есть направлены вдоль поля, вправо. Заметь, что притяжение здесь «тормозит» быстрый заряд q и «подтягивает» отстающий Q, выравнивая их ускорения.
Почему модель именно такая. Заряды считаем точечными, поэтому их взаимодействие описывается законом Кулона F=k\dfrac{\left|Q\right|q}{d^{2}}, а действие внешнего поля — формулой F_{поля}=\left|q\right|E (определение напряжённости). По принципу суперпозиции на каждый заряд действует сумма этих двух сил, и для каждого записывается второй закон Ньютона в проекции на направление поля. Силой тяжести условие велит пренебречь, поэтому движение получается одномерным, вдоль линии, соединяющей заряды. Знаки сил определяются знаками зарядов: на отрицательный заряд поле действует против \vec{E}, а разноимённые заряды притягиваются.