ID: 00026576
В однородном электрическом поле с напряжённостью $E=18$ В/м находятся два точечных заряда: $Q=-1$ нКл и $q=+5$ нКл с массами $M=5$ г и $m=10$ г соответственно (см. рисунок). На каком расстоянии d друг от друга находятся заряды, если их ускорения совпадают по величине и направлению? Сделайте рисунок с указанием всех сил, действующих на заряды. Силой тяжести пренебречь.
Источник: ФИПИ
Два заряда висят в одном и том же однородном поле, но ведут себя по-разному: положительный $q$ поле тянет по направлению $\vec{E}$ (вправо по рисунку), отрицательный $Q$ — против поля (влево). При этом заряды разноимённые, значит они ещё и притягиваются друг к другу. Требование задачи — чтобы оба разгонялись одинаково: с равными по величине и совпадающими по направлению ускорениями. Значит, кулоновское притяжение должно быть подобрано «в самый раз», а подбирается оно расстоянием.
Шаг 1 — силы на каждом заряде. Направление вправо (вдоль $\vec{E}$) считаем положительным. На заряд $Q$ (он отрицательный, слева) действуют: сила поля $\left|Q\right|E$ — влево, и кулоновское притяжение к $q$ — вправо, модуль $F$. На заряд $q$ (положительный, справа): сила поля $qE$ — вправо, и притяжение к $Q$ — влево, модуль тот же $F$ (третий закон Ньютона).
Шаг 2 — второй закон Ньютона для каждого. $$Ma=F-\left|Q\right|E,\qquad ma=qE-F.$$ Здесь $a$ — общее для обоих ускорение (по условию они равны и одинаково направлены).
Шаг 3 — исключаем $a$. Выразим ускорение из обоих уравнений и приравняем: $$\frac{F-\left|Q\right|E}{M}=\frac{qE-F}{m}.$$ Перемножим накрест: $m\left(F-\left|Q\right|E\right)=M\left(qE-F\right)$, раскроем и соберём $F$: $$F\left(m+M\right)=E\left(Mq+m\left|Q\right|\right)\quad\Rightarrow\quad F=\frac{E\left(Mq+m\left|Q\right|\right)}{M+m}.$$
Шаг 4 — считаем силу. Переводим массы: $M=5\ \text{г}=5\cdot10^{-3}$ кг, $m=10\ \text{г}=10^{-2}$ кг; заряды: $\left|Q\right|=10^{-9}$ Кл, $q=5\cdot10^{-9}$ Кл. $$F=\frac{18\left(5\cdot10^{-3}\cdot5\cdot10^{-9}+10^{-2}\cdot10^{-9}\right)}{1{,}5\cdot10^{-2}}=\frac{18\left(2{,}5\cdot10^{-11}+10^{-11}\right)}{1{,}5\cdot10^{-2}}=\frac{18\cdot3{,}5\cdot10^{-11}}{1{,}5\cdot10^{-2}}=4{,}2\cdot10^{-8}\ \text{Н}.$$
Шаг 5 — от силы к расстоянию. По закону Кулона $F=k\dfrac{\left|Q\right|q}{d^{2}}$, где $k=9\cdot10^{9}\ \text{Н}\cdot\text{м}^{2}/\text{Кл}^{2}$. Отсюда $$d=\sqrt{\frac{k\left|Q\right|q}{F}}=\sqrt{\frac{9\cdot10^{9}\cdot10^{-9}\cdot5\cdot10^{-9}}{4{,}2\cdot10^{-8}}}=\sqrt{\frac{4{,}5\cdot10^{-8}}{4{,}2\cdot10^{-8}}}=\sqrt{\frac{15}{14}}\approx1{,}04\ \text{м}.$$
Проверим оба ускорения по отдельности: $a=\dfrac{F-\left|Q\right|E}{M}=\dfrac{4{,}2\cdot10^{-8}-1{,}8\cdot10^{-8}}{5\cdot10^{-3}}=4{,}8\cdot10^{-6}$ м/с² и $a=\dfrac{qE-F}{m}=\dfrac{9\cdot10^{-8}-4{,}2\cdot10^{-8}}{10^{-2}}=4{,}8\cdot10^{-6}$ м/с². Совпали, причём оба положительны — то есть направлены вдоль поля, вправо. Заметь, что притяжение здесь «тормозит» быстрый заряд $q$ и «подтягивает» отстающий $Q$, выравнивая их ускорения.
Почему модель именно такая. Заряды считаем точечными, поэтому их взаимодействие описывается законом Кулона $F=k\dfrac{\left|Q\right|q}{d^{2}}$, а действие внешнего поля — формулой $F_{поля}=\left|q\right|E$ (определение напряжённости). По принципу суперпозиции на каждый заряд действует сумма этих двух сил, и для каждого записывается второй закон Ньютона в проекции на направление поля. Силой тяжести условие велит пренебречь, поэтому движение получается одномерным, вдоль линии, соединяющей заряды. Знаки сил определяются знаками зарядов: на отрицательный заряд поле действует против $\vec{E}$, а разноимённые заряды притягиваются.