ID: 00026598
Батарея из четырёх конденсаторов электроёмкостью С _{1} = 2 С , С _{2} = С , С _{3} = 4 С и С _{4} = 2 С подключена к источнику постоянного напряжения с ЭДС ℰ и внутренним сопротивлением r (см. рисунок). На сколько и как изменится общая энергия, запасённая в батарее, если в конденсаторе С _{3} возникнет пробой?
Источник: ФИПИ
Разберёмся со схемой — она тут главная. На рисунке от левой шины идут две параллельные ветки к правой шине: в верхней последовательно стоят C_1 и C_2, в нижней — C_3 и C_4. А середины этих веток соединены проводом (на рисунке в этих точках жирные узлы). Значит, средняя точка у обеих веток одна и та же — назовём её M.
Шаг 1 — упрощаем схему. Раз середина общая, то C_1 и C_3 подключены к одной и той же паре точек (левая шина и M), то есть соединены параллельно. Точно так же параллельны C_2 и C_4 (они между M и правой шиной). При параллельном соединении ёмкости складываются: C_{13}=C_1+C_3=2C+4C=6C, C_{24}=C_2+C_4=C+2C=3C.
Шаг 2 — общая ёмкость до пробоя. Две получившиеся «сборки» стоят друг за другом, то есть последовательно, а при последовательном соединении складываются обратные величины: \dfrac{1}{C_{общ}}=\dfrac{1}{6C}+\dfrac{1}{3C}=\dfrac{1+2}{6C}=\dfrac{1}{2C}, значит C_{общ}=2C.
Шаг 3 — какое напряжение на батарее. Конденсаторы постоянный ток не пропускают, поэтому в установившемся режиме тока в цепи нет. Раз I=0, то на внутреннем сопротивлении источника ничего не падает: Ir=0, и на батарею конденсаторов приходится всё ЭДС целиком, U=\mathcal{E}. Внутреннее сопротивление r в ответ не войдёт вовсе.
Шаг 4 — энергия до пробоя. Энергия заряженного конденсатора (или их сборки) считается как W=\dfrac{C U^2}{2}. Тогда W_1=\dfrac{2C\mathcal{E}^2}{2}=C\mathcal{E}^2.
Шаг 5 — что делает пробой. Пробой конденсатора C_3 означает, что через него пошёл разряд и он превратился в обычную перемычку — кусок провода. Теперь точка M соединена с левой шиной напрямую. Первое следствие: C_1 оказался закорочен (обе его обкладки на одном проводе), напряжение на нём ноль, энергии он не запасает. Второе следствие: C_2 и C_4 теперь оба подключены прямо к источнику, параллельно друг другу, и на каждом из них полное напряжение \mathcal{E}.
Шаг 6 — энергия после пробоя. Осталась параллельная пара: C_{нов}=C_2+C_4=C+2C=3C, и W_2=\dfrac{3C\mathcal{E}^2}{2}=1{,}5\,C\mathcal{E}^2.
Шаг 7 — изменение. \Delta W=W_2-W_1=1{,}5\,C\mathcal{E}^2-C\mathcal{E}^2=0{,}5\,C\mathcal{E}^2=\dfrac{C\mathcal{E}^2}{2}. Величина положительная, значит энергия выросла. И это логично: пробой убрал «тормоз» в виде последовательного соединения, общая ёмкость подскочила с 2C до 3C, а при постоянном напряжении энергия растёт вместе с ёмкостью.
Почему модель работает. Используются: правила сложения ёмкостей при параллельном (C=C_a+C_b) и последовательном (1/C=1/C_a+1/C_b) соединениях; формула энергии заряженного конденсатора W=\dfrac{CU^2}{2}; закон Ома для полной цепи в предельном случае I=0, который и позволяет заменить напряжение на батарее её ЭДС. Установившийся режим — обязательное условие: пока конденсаторы заряжаются, ток идёт и часть энергии уходит на нагрев r, но нас спрашивают про запасённую энергию уже после того, как всё успокоилось.