Электростатика — Задание 25 ЕГЭ по физике №00026598

Разберёмся со схемой — она тут главная. На рисунке от левой шины идут две параллельные ветки к правой шине: в верхней последовательно стоят $C_1$ и $C_2$, в нижней — $C_3$ и $C_4$. А середины этих веток соединены проводом (на рисунке в этих точках жирные узлы). Значит, средняя точка у обеих веток одна и та же — назовём её $M$.

Шаг 1 — упрощаем схему. Раз середина общая, то $C_1$ и $C_3$ подключены к одной и той же паре точек (левая шина и $M$), то есть соединены параллельно. Точно так же параллельны $C_2$ и $C_4$ (они между $M$ и правой шиной). При параллельном соединении ёмкости складываются: $C_{13}=C_1+C_3=2C+4C=6C$, $C_{24}=C_2+C_4=C+2C=3C$.

Шаг 2 — общая ёмкость до пробоя. Две получившиеся «сборки» стоят друг за другом, то есть последовательно, а при последовательном соединении складываются обратные величины: $\dfrac{1}{C_{общ}}=\dfrac{1}{6C}+\dfrac{1}{3C}=\dfrac{1+2}{6C}=\dfrac{1}{2C}$, значит $C_{общ}=2C$.

Шаг 3 — какое напряжение на батарее. Конденсаторы постоянный ток не пропускают, поэтому в установившемся режиме тока в цепи нет. Раз $I=0$, то на внутреннем сопротивлении источника ничего не падает: $Ir=0$, и на батарею конденсаторов приходится всё ЭДС целиком, $U=\mathcal{E}$. Внутреннее сопротивление $r$ в ответ не войдёт вовсе.

Шаг 4 — энергия до пробоя. Энергия заряженного конденсатора (или их сборки) считается как $W=\dfrac{C U^2}{2}$. Тогда $W_1=\dfrac{2C\mathcal{E}^2}{2}=C\mathcal{E}^2$.

Шаг 5 — что делает пробой. Пробой конденсатора $C_3$ означает, что через него пошёл разряд и он превратился в обычную перемычку — кусок провода. Теперь точка $M$ соединена с левой шиной напрямую. Первое следствие: $C_1$ оказался закорочен (обе его обкладки на одном проводе), напряжение на нём ноль, энергии он не запасает. Второе следствие: $C_2$ и $C_4$ теперь оба подключены прямо к источнику, параллельно друг другу, и на каждом из них полное напряжение $\mathcal{E}$.

Шаг 6 — энергия после пробоя. Осталась параллельная пара: $C_{нов}=C_2+C_4=C+2C=3C$, и $W_2=\dfrac{3C\mathcal{E}^2}{2}=1{,}5\,C\mathcal{E}^2$.

Шаг 7 — изменение. $\Delta W=W_2-W_1=1{,}5\,C\mathcal{E}^2-C\mathcal{E}^2=0{,}5\,C\mathcal{E}^2=\dfrac{C\mathcal{E}^2}{2}$. Величина положительная, значит энергия выросла. И это логично: пробой убрал «тормоз» в виде последовательного соединения, общая ёмкость подскочила с $2C$ до $3C$, а при постоянном напряжении энергия растёт вместе с ёмкостью.

Почему модель работает. Используются: правила сложения ёмкостей при параллельном ($C=C_a+C_b$) и последовательном ($1/C=1/C_a+1/C_b$) соединениях; формула энергии заряженного конденсатора $W=\dfrac{CU^2}{2}$; закон Ома для полной цепи в предельном случае $I=0$, который и позволяет заменить напряжение на батарее её ЭДС. Установившийся режим — обязательное условие: пока конденсаторы заряжаются, ток идёт и часть энергии уходит на нагрев $r$, но нас спрашивают про запасённую энергию уже после того, как всё успокоилось.