ID: 00026593
Вольт-амперная характеристика лампы накаливания изображена на графике. При потребляемой мощности 24 Вт температура нити лампы равна 3100 К. Сопротивление нити прямо пропорционально её температуре. Чему равна температура нити накала, если потребляемая мощность составляет 8,4 Вт?
Источник: ФИПИ
У лампы накаливания вольт-амперная характеристика кривая, а не прямая: с ростом напряжения нить раскаляется, её сопротивление растёт, и ток прибавляется всё медленнее. Именно поэтому по графику можно судить о температуре: каждой рабочей точке отвечает своё сопротивление, а сопротивление прямо пропорционально температуре нити.
Шаг 1 — находим первую рабочую точку. Нужна точка кривой, где произведение $UI$ равно $24$ Вт. Проверим правый конец графика: $U_{1}=12$ В, $I_{1}=2{,}0$ А, тогда $$P_{1}=U_{1}I_{1}=12\cdot2=24\ \text{Вт}.$$ Совпало — это и есть первый режим, ему отвечает температура $T_{1}=3100$ К.
Шаг 2 — находим вторую рабочую точку. Теперь ищем на кривой точку с $UI=8{,}4$ Вт. Возьмём $U_{2}=6$ В: по графику кривая в этом месте проходит ровно через $I_{2}=1{,}4$ А, и $$P_{2}=6\cdot1{,}4=8{,}4\ \text{Вт}.$$ Как раз то, что нужно.
Шаг 3 — сопротивления в двух режимах. Сопротивление нити в каждой точке — это отношение напряжения к току (закон Ома для участка цепи, применённый к данной рабочей точке): $$R_{1}=\frac{U_{1}}{I_{1}}=\frac{12}{2}=6\ \text{Ом},\qquad R_{2}=\frac{U_{2}}{I_{2}}=\frac{6}{1{,}4}=\frac{30}{7}\approx4{,}29\ \text{Ом}.$$ Сопротивление упало — значит, нить остыла, и ответ должен быть меньше $3100$ К.
Шаг 4 — переходим к температуре. По условию $R$ прямо пропорционально $T$, то есть $\dfrac{R}{T}=\text{const}$, поэтому $$\frac{R_{2}}{R_{1}}=\frac{T_{2}}{T_{1}}\quad\Rightarrow\quad T_{2}=T_{1}\frac{R_{2}}{R_{1}}.$$
Шаг 5 — считаем. $$\frac{R_{2}}{R_{1}}=\frac{30/7}{6}=\frac{30}{42}=\frac{5}{7},$$ $$T_{2}=3100\cdot\frac{5}{7}=\frac{15500}{7}\approx2214\ \text{К}.$$
Проверим здравым смыслом: температура снизилась примерно на $900$ К, а потребляемая мощность упала почти втрое — вполне согласуется с тем, что лампа стала гореть заметно тусклее. И заметь важную деталь: сопротивление здесь нельзя брать «одно на всю лампу» — оно своё в каждой точке характеристики, потому и приходится каждый режим искать на графике отдельно.
Почему модель именно такая. Лампа — нелинейный элемент, поэтому её сопротивление определяется в конкретной рабочей точке как $R=\dfrac{U}{I}$ (закон Ома для участка цепи применяется к мгновенным значениям в этой точке, а не в виде «постоянного сопротивления»). Мощность считается по закону Джоуля — Ленца в форме $P=UI$ — именно это условие и позволяет выбрать нужные точки на графике. Наконец, используется заданная в условии зависимость сопротивления нити от температуры: прямая пропорциональность $R\sim T$ превращает отношение сопротивлений в отношение абсолютных температур, поэтому температуру обязательно брать в кельвинах.