ID: 00026583
Нижняя грань АС прозрачного клина посеребрена и представляет собой плоское зеркало. Угол при вершине клина α = 15 ° . Луч света падает из воздуха на клин перпендикулярно грани АВ , преломляется и выходит в воздух через ту же грань АВ , но уже под углом преломления β = 60 ° . Определите показатель преломления материала клина. Сделайте рисунок, поясняющий ход луча в клине.
Источник: ФИПИ
Проследим за лучом. Он входит в клин через наклонную грань AB строго перпендикулярно ей, потом отражается от посеребрённого дна AC и возвращается к грани AB — но уже не перпендикулярно, а под каким-то углом, поэтому на выходе преломляется. Показатель преломления найдём из закона преломления на выходе, а весь фокус — правильно посчитать угол падения изнутри.
Шаг 1 — вход в клин. Луч падает на AB по нормали, то есть под углом падения 0^{\circ}. По закону преломления угол преломления тоже равен нулю: луч входит, не меняя направления. Значит, внутри клина он идёт вдоль нормали к грани AB.
Шаг 2 — падение на зеркало. Угол между гранями AB и AC равен \alpha=15^{\circ}. Если две прямые составляют угол \alpha, то и их нормали составляют такой же угол \alpha. Наш луч идёт по нормали к AB, поэтому с нормалью к зеркалу AC он составляет угол \alpha=15^{\circ} — это и есть угол падения на зеркало.
Шаг 3 — отражение. По закону отражения угол отражения равен углу падения, то есть 15^{\circ}, и отражённый луч уходит по другую сторону от нормали к AC. Направление луча при этом развернулось на 2\alpha=30^{\circ} относительно первоначального.
Шаг 4 — возвращение к грани AB. Раньше луч шёл точно по нормали к AB (угол с ней 0^{\circ}), а теперь его направление повернулось на 2\alpha. Значит, угол падения изнутри на грань AB равен \gamma=2\alpha=2\cdot15^{\circ}=30^{\circ}.
Шаг 5 — закон преломления на выходе. Луч идёт из стекла (показатель n) в воздух (показатель 1), угол преломления \beta=60^{\circ}: n\sin\gamma=\sin\beta\quad\Rightarrow\quad n=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}=\frac{\sin60^{\circ}}{\sin30^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}\approx1{,}73.
Проверим, что луч действительно вышел, а не отразился внутри. Предельный угол полного внутреннего отражения: \sin\gamma_{пр}=\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx0{,}577, то есть \gamma_{пр}\approx35{,}3^{\circ}. Наш угол падения 30^{\circ} меньше предельного — свет проходит наружу, всё согласовано. И само значение n=1{,}73 — вполне реальный показатель преломления тяжёлого стекла.
Почему модель именно такая. Работают три закона геометрической оптики. Первый — закон преломления (Снеллиуса) на входе: при нулевом угле падения преломления нет, луч идёт без излома. Второй — закон отражения от плоского зеркала: угол отражения равен углу падения, лучи и нормаль лежат в одной плоскости; посеребрённая грань как раз и есть плоское зеркало. Третий — снова закон преломления, но уже на выходе из более плотной среды в воздух: n\sin\gamma=\sin\beta. Ключевая геометрическая идея, связывающая всё вместе: угол между нормалями к двум граням равен углу между самими гранями, поэтому после отражения направление луча разворачивается ровно на 2\alpha.