ID: 00026587
В дно водоёма глубиной 2 м вертикально вбита свая. На 1 м свая выступает из воды. Угол падения солнечных лучей на поверхность воды равен 30°. Постройте ход лучей, формирующих тень от сваи на дне водоёма, и определите её длину. Показатель преломления воды $n=\dfrac{4}{3}$.
Источник: ФИПИ
Свая торчит из воды, поэтому луч, задевающий её верхушку, проделывает путь в двух средах: сначала $1$ м по воздуху до поверхности воды, потом $2$ м по воде до дна. В воздухе он идёт под одним углом, в воде — под другим, круче. Тень на дне тянется от основания сваи до точки, куда придёт этот «граничный» луч, значит её длина складывается из двух горизонтальных смещений.
Шаг 1 — угол в воздухе. Угол падения отсчитывается от нормали к поверхности воды, а она вертикальна, потому что поверхность горизонтальна. Итак, $\theta=30^{\circ}$, и $$\mathrm{tg}\,\theta=\mathrm{tg}\,30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx0{,}577.$$
Шаг 2 — первый кусок пути. Верхушка сваи возвышается над водой на $h=1$ м. Спускаясь на эту высоту, луч сместится по горизонтали на $$L_{1}=h\,\mathrm{tg}\,\theta=1\cdot0{,}577=0{,}577\ \text{м}.$$
Шаг 3 — угол в воде. По закону преломления $\dfrac{\sin\theta}{\sin\gamma}=n$: $$\sin\gamma=\frac{\sin30^{\circ}}{n}=\frac{0{,}5}{4/3}=\frac{3}{8}=0{,}375.$$ Тогда $\cos\gamma=\sqrt{1-\dfrac{9}{64}}=\dfrac{\sqrt{55}}{8}$ и $$\mathrm{tg}\,\gamma=\frac{3/8}{\sqrt{55}/8}=\frac{3}{\sqrt{55}}\approx0{,}405.$$ Как и положено, в воде луч идёт ближе к вертикали, чем в воздухе.
Шаг 4 — второй кусок пути. Глубина водоёма $H=2$ м, значит от поверхности до дна луч сместится по горизонтали на $$L_{2}=H\,\mathrm{tg}\,\gamma=2\cdot0{,}405=0{,}809\ \text{м}.$$
Шаг 5 — длина тени. Свая вертикальна, поэтому её основание находится ровно под верхушкой, и оба смещения отсчитываются в одну сторону: $$L=L_{1}+L_{2}=0{,}577+0{,}809\approx1{,}39\ \text{м}.$$
Полезно заметить, зачем в задаче преломление вообще нужно. Если бы луч шёл по прямой без излома, он сместился бы за те же $2$ м воды на $2\cdot0{,}577=1{,}15$ м, и тень получилась бы $1{,}73$ м. Вода «выпрямляет» луч к вертикали и укорачивает тень почти на треть — вот и весь физический смысл ответа.
Почему модель именно такая. В каждой однородной среде свет распространяется прямолинейно, поэтому границу тени задаёт единственный луч — тот, что проходит впритирку у верхушки сваи; на этом и держится всё построение. На границе воздух — вода работает закон преломления света $\dfrac{\sin\theta}{\sin\gamma}=n$, где $n$ — показатель преломления воды, а углы отсчитываются от нормали, то есть от вертикали. Свая вертикальна, а дно горизонтально, поэтому горизонтальное смещение луча на каждом участке равно произведению вертикального пути на тангенс соответствующего угла.