Идея

Луч лазера, попав на верхнюю грань пластины, частично отражается сразу (это первое пятно на потолке), а частично уходит внутрь стекла. Внутри он бегает «зигзагом» между верхней и нижней гранями: каждый раз, возвращаясь на верхнюю грань, часть света выходит наружу и даёт на потолке новое пятно. Зачернённые боковые грани — это «стенки-ловушки»: как только зигзаг доходит до края пластины, свет гаснет. Значит, число пятен задаётся тем, сколько раз луч успеет сходить «вниз-вверх», пока не упрётся в зачернённый край.

Шаг 1. Угол внутри стекла

По закону преломления \sin\alpha = n\sin\beta, откуда \sin\beta = \dfrac{\sin 30^\circ}{1{,}5} = \dfrac{0{,}5}{1{,}5} = \dfrac13. Тогда \cos\beta = \dfrac{2\sqrt2}{3} и \tan\beta = \dfrac{1}{2\sqrt2} \approx 0{,}354.

Шаг 2. Насколько луч смещается за один проход

Проходя сквозь толщину d (сверху вниз или снизу вверх), луч сдвигается вдоль пластины на \Delta x = d\tan\beta = 1\cdot 0{,}354 \approx 0{,}354 см. Чтобы пятен было как можно больше, школьник пускает луч вдоль диагонали квадрата — это самый длинный путь до зачернённого края, его длина a\sqrt2 = 5{,}2\cdot\sqrt2 \approx 7{,}35 см.

Шаг 3. Сколько проходов помещается

Число одиночных проходов: K = \left\lfloor \dfrac{a\sqrt2}{d\tan\beta}\right\rfloor = \left\lfloor \dfrac{7{,}35}{0{,}354}\right\rfloor = \lfloor 20{,}8\rfloor = 20. Свет выходит на верхнюю грань после каждого «двойного» прохода (вниз-вверх), то есть 20/2 = 10 раз.

Шаг 4. Считаем пятна

К десяти «выходным» пятнам добавляем самое первое — от отражения у точки входа: N = 10 + 1 = 11.

Ответ: N = 11 пятен.