ID: 00019534
Школьник на уроке физики получил вогнутое полусферическое зеркало радиусом $R$ и лазерную указку, дающую узкий параллельный пучок света с длиной волны $\lambda=600$ нм. Он пустил луч света от указки параллельно главной оптической оси зеркала $OO'$ на расстоянии $x$ от неё (см. рисунок). Затем школьник так подобрал расстояние $x$, что луч, отразившись от зеркала один раз, отклонился от оси $OO'$ на максимальный угол $\varphi$ и вышел за пределы зеркала. Чему при таком отражении равен модуль изменения импульса каждого фотона лазерного луча?
Источник: ФИПИ
Импульс фотона зависит только от длины волны: $p=\dfrac{h}{\lambda}$. При отражении величина импульса не меняется, поворачивается лишь его направление. Поэтому $|\Delta p|=2p\sin\dfrac{\delta}{2}$, где $\delta$ — угол поворота направления фотона. Главная работа — найти этот угол из геометрии зеркала.
Луч идёт параллельно оси на высоте $x$ и попадает на сферу там, где радиус к точке падения составляет с осью угол $\theta$, причём $\sin\theta=\dfrac{x}{R}$. Угол падения тоже равен $\theta$, поэтому отражённый луч отклоняется от первоначального направления на $\delta=180^\circ-2\theta$, а от оси — на $\varphi=2\theta$.
Чем больше $x$, тем больше отклонение. Но при слишком большом $x$ отражённый луч снова попадёт на зеркало. Граничный случай — луч выходит ровно через край зеркала; геометрия даёт $\theta=30^\circ$. Это и есть максимум: отклонение от оси $\varphi=2\theta=60^\circ$.
Здесь подвох: от оси луч отклонился на $60^\circ$, но само направление фотона повернулось на $\delta=180^\circ-60^\circ=120^\circ$. Поэтому $|\Delta p|=2p\sin\dfrac{\delta}{2}=2\cdot\dfrac{h}{\lambda}\cdot\sin 60^\circ=\sqrt3\,\dfrac{h}{\lambda}=\sqrt3\cdot\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{6\cdot10^{-7}}\approx1{,}9\cdot10^{-27}$ кг·м/с.
$|\Delta p| \approx 1{,}9\cdot10^{-27}$ кг·м/с