Идея

Импульс фотона зависит только от длины волны: p=\dfrac{h}{\lambda}. При отражении величина импульса не меняется, поворачивается лишь его направление. Поэтому |\Delta p|=2p\sin\dfrac{\delta}{2}, где \delta — угол поворота направления фотона. Главная работа — найти этот угол из геометрии зеркала.

Шаг 1. Геометрия отражения

Луч идёт параллельно оси на высоте x и попадает на сферу там, где радиус к точке падения составляет с осью угол \theta, причём \sin\theta=\dfrac{x}{R}. Угол падения тоже равен \theta, поэтому отражённый луч отклоняется от первоначального направления на \delta=180^\circ-2\theta, а от оси — на \varphi=2\theta.

Шаг 2. Условие «отразился один раз и вышел»

Чем больше x, тем больше отклонение. Но при слишком большом x отражённый луч снова попадёт на зеркало. Граничный случай — луч выходит ровно через край зеркала; геометрия даёт \theta=30^\circ. Это и есть максимум: отклонение от оси \varphi=2\theta=60^\circ.

Шаг 3. Считаем изменение импульса

Здесь подвох: от оси луч отклонился на 60^\circ, но само направление фотона повернулось на \delta=180^\circ-60^\circ=120^\circ. Поэтому |\Delta p|=2p\sin\dfrac{\delta}{2}=2\cdot\dfrac{h}{\lambda}\cdot\sin 60^\circ=\sqrt3\,\dfrac{h}{\lambda}=\sqrt3\cdot\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{6\cdot10^{-7}}\approx1{,}9\cdot10^{-27} кг·м/с.

Ответ: |\Delta p|\approx1{,}9\cdot10^{-27} кг·м/с.