ID: 00026580
Квадратная рамка из медного провода помещена в однородное поле электромагнита. На рисунке приведён график зависимости от времени t для проекции В _{n} вектора индукции этого поля на перпендикуляр к плоскости рамки. За время \tau=5 с в рамке выделяется количество теплоты Q=53 мкДж. Длина стороны рамки l=10 c м. Удельное сопротивление меди \rho=1,7\cdot 10^{-8} Ом \cdot м. Определите площадь поперечного сечения провода S _{0}.
Источник: ФИПИ
Рамка неподвижна, а поле в ней меняется — значит, в рамке наводится ЭДС индукции и течёт ток, который греет провод. Нам сказали, сколько теплоты выделилось за 5 с, и просят найти толщину провода. Логика решения: по графику найдём скорость изменения поля, из неё — ЭДС, из ЭДС и теплоты — сопротивление рамки, а из сопротивления — площадь сечения.
Шаг 1 — читаем график. Прямая начинается в точке B_{n}=0{,}3 Тл при t=0, пересекает ноль при t=3 с и приходит к -0{,}2 Тл при t=5 с. Значит, поле меняется равномерно со скоростью \left|\frac{\Delta B_{n}}{\Delta t}\right|=\frac{0{,}3-\left(-0{,}2\right)}{5}=\frac{0{,}5}{5}=0{,}1\ \text{Тл/с}. Скорость постоянна на всём промежутке — это важно, иначе ЭДС менялась бы во времени.
Шаг 2 — ЭДС индукции. Площадь рамки A=l^{2}=\left(0{,}1\right)^{2}=10^{-2}\ \text{м}^{2}. По закону электромагнитной индукции Фарадея модуль ЭДС равен скорости изменения магнитного потока, а поток \Phi=B_{n}A (именно поэтому на графике дана проекция на перпендикуляр к плоскости рамки): \mathcal{E}=A\left|\frac{\Delta B_{n}}{\Delta t}\right|=10^{-2}\cdot0{,}1=10^{-3}\ \text{В}. ЭДС постоянна, потому что постоянна скорость изменения поля.
Шаг 3 — сопротивление рамки из теплоты. Ток тоже постоянен, поэтому по закону Джоуля — Ленца за время \tau выделяется Q=\dfrac{\mathcal{E}^{2}}{R}\tau, откуда R=\frac{\mathcal{E}^{2}\tau}{Q}=\frac{\left(10^{-3}\right)^{2}\cdot5}{53\cdot10^{-6}}=\frac{5\cdot10^{-6}}{5{,}3\cdot10^{-5}}\approx0{,}094\ \text{Ом}.
Шаг 4 — от сопротивления к сечению. Рамка квадратная, значит длина провода — это её периметр: L=4l=4\cdot0{,}1=0{,}4 м. Сопротивление однородного проводника R=\dfrac{\rho L}{S_{0}}, поэтому S_{0}=\frac{\rho L}{R}=\frac{1{,}7\cdot10^{-8}\cdot0{,}4}{0{,}094}\approx7{,}2\cdot10^{-8}\ \text{м}^{2}.
Шаг 5 — одной формулой. Если не считать промежуточные величины, получится компактно: S_{0}=\frac{4\rho l\,Q}{\mathcal{E}^{2}\tau}=\frac{4\cdot1{,}7\cdot10^{-8}\cdot0{,}1\cdot53\cdot10^{-6}}{\left(10^{-3}\right)^{2}\cdot5}\approx7{,}2\cdot10^{-8}\ \text{м}^{2}.
Прикинем, разумно ли это: 7{,}2\cdot10^{-8}\ \text{м}^{2} — это примерно 0{,}072\ \text{мм}^{2}, то есть круглый провод диаметром около 0{,}3 мм. Обычный тонкий медный обмоточный провод — всё честно.
Почему модель именно такая. Основа — закон электромагнитной индукции Фарадея: \mathcal{E}=\left|\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right|, причём поток вычисляется через проекцию индукции на нормаль к плоскости рамки, \Phi=B_{n}A, а площадь рамки не меняется — поэтому вся скорость изменения потока приходится на изменение поля. Так как график линейный, ЭДС и ток постоянны, и работает закон Джоуля — Ленца в простой форме Q=\dfrac{\mathcal{E}^{2}}{R}\tau без интегрирования. Наконец, зависимость сопротивления однородного проводника от его длины и сечения R=\dfrac{\rho L}{S_{0}} позволяет перейти от электрической величины к геометрической, а длиной провода служит периметр квадратной рамки.