ID: 00026580
Квадратная рамка из медного провода помещена в однородное поле электромагнита. На рисунке приведён график зависимости от времени t для проекции $B_{n}$ вектора индукции этого поля на перпендикуляр к плоскости рамки. За время $\tau=5$ с в рамке выделяется количество теплоты $Q=53$ мкДж. Длина стороны рамки $l=10$ c м. Удельное сопротивление меди $\rho=1,7\cdot 10^{-8}$ Ом $\cdot$ м. Определите площадь поперечного сечения провода $S_{0}$.
Источник: ФИПИ
Рамка неподвижна, а поле в ней меняется — значит, в рамке наводится ЭДС индукции и течёт ток, который греет провод. Нам сказали, сколько теплоты выделилось за $5$ с, и просят найти толщину провода. Логика решения: по графику найдём скорость изменения поля, из неё — ЭДС, из ЭДС и теплоты — сопротивление рамки, а из сопротивления — площадь сечения.
Шаг 1 — читаем график. Прямая начинается в точке $B_{n}=0{,}3$ Тл при $t=0$, пересекает ноль при $t=3$ с и приходит к $-0{,}2$ Тл при $t=5$ с. Значит, поле меняется равномерно со скоростью $$\left|\frac{\Delta B_{n}}{\Delta t}\right|=\frac{0{,}3-\left(-0{,}2\right)}{5}=\frac{0{,}5}{5}=0{,}1\ \text{Тл/с}.$$ Скорость постоянна на всём промежутке — это важно, иначе ЭДС менялась бы во времени.
Шаг 2 — ЭДС индукции. Площадь рамки $A=l^{2}=\left(0{,}1\right)^{2}=10^{-2}\ \text{м}^{2}$. По закону электромагнитной индукции Фарадея модуль ЭДС равен скорости изменения магнитного потока, а поток $\Phi=B_{n}A$ (именно поэтому на графике дана проекция на перпендикуляр к плоскости рамки): $$\mathcal{E}=A\left|\frac{\Delta B_{n}}{\Delta t}\right|=10^{-2}\cdot0{,}1=10^{-3}\ \text{В}.$$ ЭДС постоянна, потому что постоянна скорость изменения поля.
Шаг 3 — сопротивление рамки из теплоты. Ток тоже постоянен, поэтому по закону Джоуля — Ленца за время $\tau$ выделяется $Q=\dfrac{\mathcal{E}^{2}}{R}\tau$, откуда $$R=\frac{\mathcal{E}^{2}\tau}{Q}=\frac{\left(10^{-3}\right)^{2}\cdot5}{53\cdot10^{-6}}=\frac{5\cdot10^{-6}}{5{,}3\cdot10^{-5}}\approx0{,}094\ \text{Ом}.$$
Шаг 4 — от сопротивления к сечению. Рамка квадратная, значит длина провода — это её периметр: $L=4l=4\cdot0{,}1=0{,}4$ м. Сопротивление однородного проводника $R=\dfrac{\rho L}{S_{0}}$, поэтому $$S_{0}=\frac{\rho L}{R}=\frac{1{,}7\cdot10^{-8}\cdot0{,}4}{0{,}094}\approx7{,}2\cdot10^{-8}\ \text{м}^{2}.$$
Шаг 5 — одной формулой. Если не считать промежуточные величины, получится компактно: $$S_{0}=\frac{4\rho l\,Q}{\mathcal{E}^{2}\tau}=\frac{4\cdot1{,}7\cdot10^{-8}\cdot0{,}1\cdot53\cdot10^{-6}}{\left(10^{-3}\right)^{2}\cdot5}\approx7{,}2\cdot10^{-8}\ \text{м}^{2}.$$
Прикинем, разумно ли это: $7{,}2\cdot10^{-8}\ \text{м}^{2}$ — это примерно $0{,}072\ \text{мм}^{2}$, то есть круглый провод диаметром около $0{,}3$ мм. Обычный тонкий медный обмоточный провод — всё честно.
Почему модель именно такая. Основа — закон электромагнитной индукции Фарадея: $\mathcal{E}=\left|\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right|$, причём поток вычисляется через проекцию индукции на нормаль к плоскости рамки, $\Phi=B_{n}A$, а площадь рамки не меняется — поэтому вся скорость изменения потока приходится на изменение поля. Так как график линейный, ЭДС и ток постоянны, и работает закон Джоуля — Ленца в простой форме $Q=\dfrac{\mathcal{E}^{2}}{R}\tau$ без интегрирования. Наконец, зависимость сопротивления однородного проводника от его длины и сечения $R=\dfrac{\rho L}{S_{0}}$ позволяет перейти от электрической величины к геометрической, а длиной провода служит периметр квадратной рамки.