ID: 00026578
На рисунке показана схема электрической цепи, состоящей из источника тока с ЭДС $ℰ=24$ В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом, двух резисторов с сопротивлениями $R_{1}$ = 8 Ом и $R_{2}$ = 3 Ом, конденсатора электроёмкостью С = 2 мкФ и катушки с индуктивностью L = 12 мкГн. В начальном состоянии ключ длительное время замкнут. Какое количество теплоты выделится на резисторе $R_{2}$ после размыкания ключа К? Активным сопротивлением катушки пренебречь.
Источник: ФИПИ
Ключевой вопрос такой задачи — что останется в цепи после того, как ключ разомкнут. Пока К замкнут, работает вся схема: источник гонит ток через $R_{1}$, $R_{2}$ и катушку, а конденсатор просто стоит заряженным поперёк ветви «$R_{2}$ плюс катушка». Разомкнём ключ — источник вместе с $R_{1}$ уходит в обрыв, и остаётся замкнутое кольцо из конденсатора, резистора $R_{2}$ и катушки. Всё, что было запасено, там и превратится в тепло, причём выделится оно на единственном сопротивлении кольца — на $R_{2}$.
Шаг 1 — ток в установившемся режиме. Постоянный ток через конденсатор не течёт, а катушка при неизменном токе ведёт себя как обычный провод (ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения тока, а она нулевая). Остаётся один последовательный контур: $$I=\frac{\mathcal{E}}{r+R_{1}+R_{2}}=\frac{24}{1+8+3}=\frac{24}{12}=2\ \text{А}.$$
Шаг 2 — напряжение на конденсаторе. Он подключён параллельно паре «$R_{2}$ и катушка», а на катушке падения напряжения нет, поэтому $$U=IR_{2}=2\cdot3=6\ \text{В}.$$
Шаг 3 — энергия электрического поля конденсатора. $$W_{C}=\frac{CU^{2}}{2}=\frac{2\cdot10^{-6}\cdot6^{2}}{2}=\frac{2\cdot10^{-6}\cdot36}{2}=3{,}6\cdot10^{-5}\ \text{Дж}.$$
Шаг 4 — энергия магнитного поля катушки. Через неё шёл тот же ток $I=2$ А: $$W_{L}=\frac{LI^{2}}{2}=\frac{12\cdot10^{-6}\cdot4}{2}=2{,}4\cdot10^{-5}\ \text{Дж}.$$
Шаг 5 — складываем. После размыкания в оставшемся контуре нет источника, а сопротивление есть только у $R_{2}$. По закону сохранения энергии вся запасённая энергия перейдёт в теплоту на нём: $$Q=W_{C}+W_{L}=3{,}6\cdot10^{-5}+2{,}4\cdot10^{-5}=6\cdot10^{-5}\ \text{Дж}=60\ \text{мкДж}.$$
Две типичные ошибки тут стоит назвать вслух. Первая — приписать конденсатору всю ЭДС: на самом деле $6$ В, а не $24$ В, потому что большая часть напряжения падает на $r$ и $R_{1}$ (проверка: $2\cdot1+2\cdot8+6=24$ В). Вторая — забыть про катушку, а она даёт почти половину ответа.
Почему модель именно такая. Используются: закон Ома для полной цепи (в установившемся режиме конденсатор ток не пропускает, а идеальная катушка не имеет сопротивления, поэтому последовательно включены только $r$, $R_{1}$ и $R_{2}$); правило параллельного соединения для нахождения напряжения на конденсаторе; формулы энергии электрического поля конденсатора $\dfrac{CU^{2}}{2}$ и магнитного поля катушки с током $\dfrac{LI^{2}}{2}$; закон сохранения энергии для контура, оставшегося без источника, — вся энергия превращается в теплоту на единственном резисторе.