ID: 00026578
На рисунке показана схема электрической цепи, состоящей из источника тока с ЭДС ℰ=24 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом, двух резисторов с сопротивлениями R _{1} = 8 Ом и R _{2} = 3 Ом, конденсатора электроёмкостью С = 2 мкФ и катушки с индуктивностью L = 12 мкГн. В начальном состоянии ключ длительное время замкнут. Какое количество теплоты выделится на резисторе R _{2} после размыкания ключа К? Активным сопротивлением катушки пренебречь.
Источник: ФИПИ
Ключевой вопрос такой задачи — что останется в цепи после того, как ключ разомкнут. Пока К замкнут, работает вся схема: источник гонит ток через R_{1}, R_{2} и катушку, а конденсатор просто стоит заряженным поперёк ветви «R_{2} плюс катушка». Разомкнём ключ — источник вместе с R_{1} уходит в обрыв, и остаётся замкнутое кольцо из конденсатора, резистора R_{2} и катушки. Всё, что было запасено, там и превратится в тепло, причём выделится оно на единственном сопротивлении кольца — на R_{2}.
Шаг 1 — ток в установившемся режиме. Постоянный ток через конденсатор не течёт, а катушка при неизменном токе ведёт себя как обычный провод (ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения тока, а она нулевая). Остаётся один последовательный контур: I=\frac{\mathcal{E}}{r+R_{1}+R_{2}}=\frac{24}{1+8+3}=\frac{24}{12}=2\ \text{А}.
Шаг 2 — напряжение на конденсаторе. Он подключён параллельно паре «R_{2} и катушка», а на катушке падения напряжения нет, поэтому U=IR_{2}=2\cdot3=6\ \text{В}.
Шаг 3 — энергия электрического поля конденсатора. W_{C}=\frac{CU^{2}}{2}=\frac{2\cdot10^{-6}\cdot6^{2}}{2}=\frac{2\cdot10^{-6}\cdot36}{2}=3{,}6\cdot10^{-5}\ \text{Дж}.
Шаг 4 — энергия магнитного поля катушки. Через неё шёл тот же ток I=2 А: W_{L}=\frac{LI^{2}}{2}=\frac{12\cdot10^{-6}\cdot4}{2}=2{,}4\cdot10^{-5}\ \text{Дж}.
Шаг 5 — складываем. После размыкания в оставшемся контуре нет источника, а сопротивление есть только у R_{2}. По закону сохранения энергии вся запасённая энергия перейдёт в теплоту на нём: Q=W_{C}+W_{L}=3{,}6\cdot10^{-5}+2{,}4\cdot10^{-5}=6\cdot10^{-5}\ \text{Дж}=60\ \text{мкДж}.
Две типичные ошибки тут стоит назвать вслух. Первая — приписать конденсатору всю ЭДС: на самом деле 6 В, а не 24 В, потому что большая часть напряжения падает на r и R_{1} (проверка: 2\cdot1+2\cdot8+6=24 В). Вторая — забыть про катушку, а она даёт почти половину ответа.
Почему модель именно такая. Используются: закон Ома для полной цепи (в установившемся режиме конденсатор ток не пропускает, а идеальная катушка не имеет сопротивления, поэтому последовательно включены только r, R_{1} и R_{2}); правило параллельного соединения для нахождения напряжения на конденсаторе; формулы энергии электрического поля конденсатора \dfrac{CU^{2}}{2} и магнитного поля катушки с током \dfrac{LI^{2}}{2}; закон сохранения энергии для контура, оставшегося без источника, — вся энергия превращается в теплоту на единственном резисторе.