ID: 00026577
В схеме, показанной на рисунке, ключ К долгое время находился в положении 1. В момент t 0 = 0 ключ перевели в положение 2. К моменту t > 0 на резисторе R выделилось количество теплоты Q = 25 мкДж. Сила тока в цепи в этот момент равна I = 0,1 мА. Чему равно сопротивление резистора R ? ЭДС батареи E = 15 В, её внутреннее сопротивление r = 30 Ом, ёмкость конденсатора C = 0,4 мкФ. Потерями на электромагнитное излучение пренебречь.
Источник: ФИПИ
Схема работает в два такта. Сначала ключ стоит в положении 1: конденсатор подключён к батарее и долго заряжается — «под завязку». Потом ключ перекидывают в положение 2, батарея отключается, и конденсатор разряжается через резистор $R$. К некоторому моменту часть его энергии уже превратилась в тепло, а ток в цепи стал равен $I$. По этим двум числам и найдём сопротивление.
Шаг 1 — до какого напряжения зарядился конденсатор. Когда зарядка закончилась, ток в цепи прекратился. Раз тока нет, то и падения напряжения на внутреннем сопротивлении нет: $Ir=0$. Значит, на конденсаторе оказалось всё напряжение источника: $$U_{0}=E=15\ \text{В}.$$ Внутреннее сопротивление $r=30$ Ом влияет только на то, как быстро шла зарядка, но не на её итог.
Шаг 2 — начальный запас энергии. $$W_{0}=\frac{CU_{0}^{2}}{2}=\frac{0{,}4\cdot10^{-6}\cdot15^{2}}{2}=\frac{0{,}4\cdot10^{-6}\cdot225}{2}=4{,}5\cdot10^{-5}\ \text{Дж}=45\ \text{мкДж}.$$
Шаг 3 — сколько энергии осталось к моменту $t$. Излучением условие велит пренебречь, поэтому вся ушедшая энергия превратилась в теплоту на резисторе. По закону сохранения энергии: $$W=W_{0}-Q=45-25=20\ \text{мкДж}.$$
Шаг 4 — какое при этом напряжение на конденсаторе. Из $W=\dfrac{CU^{2}}{2}$: $$U=\sqrt{\frac{2W}{C}}=\sqrt{\frac{2\cdot20\cdot10^{-6}}{0{,}4\cdot10^{-6}}}=\sqrt{100}=10\ \text{В}.$$
Шаг 5 — от напряжения к сопротивлению. В положении 2 цепь состоит только из конденсатора и резистора, поэтому в каждый момент напряжение на конденсаторе равно напряжению на резисторе. По закону Ома для участка цепи: $$R=\frac{U}{I}=\frac{10}{0{,}1\cdot10^{-3}}=\frac{10}{10^{-4}}=10^{5}\ \text{Ом}=100\ \text{кОм}.$$
Прикинем правдоподобие: постоянная времени разряда $RC=10^{5}\cdot0{,}4\cdot10^{-6}=0{,}04$ с — конденсатор разряжается за сотые доли секунды, и ток при этом микроскопический, десятые доли миллиампера. Для цепи с ёмкостью в доли микрофарады и сопротивлением в сотню килоом это совершенно обычные числа.
Почему модель именно такая. В первом такте используется тот факт, что через конденсатор постоянный ток не идёт: в установившемся состоянии ток равен нулю, и по закону Ома для полной цепи напряжение на конденсаторе равно ЭДС. Дальше применяются формула энергии заряженного конденсатора $W=\dfrac{CU^{2}}{2}$ и закон сохранения энергии: убыль энергии конденсатора равна выделившейся теплоте, так как потерями на электромагнитное излучение условие велит пренебречь, а других потребителей в контуре нет. Наконец, закон Ома для участка цепи связывает мгновенные значения напряжения на резисторе и тока — и именно это позволяет работать с «мгновенным снимком» процесса, не решая уравнение разряда во времени.